О бесконечных десятичных дробях

[novichok2018]

Мне кажется, это не перебор, а единственное строгое определение бесконечной десятичной дроби, в виде ряда. Согласен, что это для универовского анализа, не для школы. Кстати, тут и теорема о мажорантной сходимости получает примеры и играет, и формула для бесконечной прогрессии.

[mihaild]

Десятичная дробь - это пара (целая часть, отображение из $\mathbb N$ в $\{0, \ldots, 9\}$), это вроде бы примерно единственное разумное определение. Дальше у нас есть два пути: либо как-то определить вещественные числа и построить отображение между десятичными дробями и вещественными числами, либо ввести на десятичных дробях операции и сказать, что вещественные числа это и есть классы эквивалентности десятичных дробей.
К моменту появления рядов ИМХО о десятичных дробях уже нужно забыть как о страшном сне.

[xagiwo]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1547954 писал(а):

Это кольцо (относительно покомпонентного сложения и композиции)

Немного занудства: правой дистрибутивности нет, так что не кольцо

[bot]

Poehavchij в сообщении #1547789 писал(а):

Там написано что 0.4999.. = 0.5

Помнится, когда мне дали почитать курс матана на ФЕНе, я начал с определения действительных чисел именно через десятичные дроби, расcчитывая на то, что они хорошо знакомы вчерашним школьникам. Бодренько определив число целой частью и мантиссой, приступил к их сравнению. Приближением ($n$-ым) числа $x$ по недостатку назвал конечную дробь $\underline x_n$, полученную отбрасыванием в мантиссе всех цифр, после $n$-ой цифры, а по избытку - число $\overline x_n=\underline x_n+10^{-n}$
Неравенство чисел определяется легко $x<y \Leftrightarrow (\exists n)(\overline x_n<\underline x_n)$.
Тут же пояснил на примерах типа $x=0,(9)$ и $y=1,(0)$, что не все числа сравнимы.
Осталось определить равенство $x=y\Leftrightarrow (x\not < y) \& (y\not < x) $.
За давностью лет уже не помню, ругался ли я такими словами, как эквивалентность и фактор-множество или просто сослался на неоднозначность представления дробей, в качестве примера.
Проблемы начались позднее при определении операций.
Даже простой факт, что $[-\pi]\ne -3$ был для многих откровением.

(Оффтоп)

Был со мной такой казус. Писал программу на языке алгол, в которой по целой части числа (которое могло быть и отрицательным) была организована переадресация. Иногда программа работала безупречно, а иногда шла в разнос. Долго я искал ошибку в программе, пока не нашёл её в алголе. Оказалось, что там минус выносится за знак целой части.

Провозившись с действительными числами месяц наверно, пришлось сильно напрягаться, чтобы успеть прочитать до конца семестра интеграл.
Больше я этот опыт не повторял.