Вычисление несобственного интеграла

[Shpilev]

Привет! Нужно найти следующий несобственный интеграл второго рода с заданной точностью

\[ \varepsilon \]

:

\[ \int\limits_0^1 {\ln \sin (x)} dx \]

Идею решения я знаю. Надо разбить этот интеграл на две составляющие: одна вблизи 0 так что бы избавиться от этой окрестности, а вторая все что останется.
Так вот никак не получается оценить первую составляющую чтобы найти

\[ A \]

:

\[ \int\limits_0^A {\ln \sin (x)} dx \]

Можете помочь подобрать интеграл что бы был больше (по модулю) выше указанного и при этом его величину можно было легко определить?

[Brukvalub]

$0 < x < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin x > \frac{2}{\pi }x \Rightarrow \ln (\sin x) > \ln (\frac{2}{\pi }x) \Rightarrow - \ln (\sin x) < - \ln (\frac{2}{\pi }x)$

[bot]

Дык, попробуйте около нуля неравенство $\sin x < x$.

Добавлено спустя 3 минуты 30 секунд:

А, ну да - хотел ещё добавить - со знаком не сбейтесь. Вот сам и сбился.

[Shpilev]

Подобные интегралы не подходят, так как мне из них нужно найти верхнюю границу

\[ A \]

, а любой интеграл от логарифма даст либо логарифм (тогда в 0 получим бесконечность) или уравнение вида

\[ A \cdot \ln A = \frac{\varepsilon }{2} \]

откуда напрямую выразить

\[ A \]

я затрудняюсь.

[Brukvalub]

Shpilev в сообщении #154740 писал(а):

уравнение вида

\[ A \cdot \ln A = \frac{\varepsilon }{2} \]

откуда напрямую выразить

\[ A \]

я затрудняюсь.

А если не выразить, а оценить А, то тоже затрудняетесь?

[Shpilev]

Пожалуй что так

Добавлено спустя 3 минуты 42 секунды:

хотя оценка

\[ \left| {A \cdot \ln A} \right| < \sqrt A \]

приемлема при достаточно малом А

Добавлено спустя 8 минут 41 секунду:

Не могу придумать оценку которая бы не зависела от

\[ \varepsilon \]

.

[Brukvalub]

Shpilev в сообщении #154754 писал(а):

Не могу придумать оценку которая бы не зависела от

\[ \varepsilon \]

.

А вот эта Ваша оценка:

Shpilev в сообщении #154754 писал(а):

хотя оценка

\[ \left| {A \cdot \ln A} \right| < \sqrt A \]

приемлема при достаточно малом А

зависит от

\[ \varepsilon \]

.?

[Shpilev]

Нет не зависит, спасибо. Я не правильно преобразовал.