В чём ошибка в доказательстве? (Образ пересечения)

[ancom1337]

Здравствуйте, читаю учебник по функциональному анализу и не могу понять, как я умудрился доказать ложное утверждение. Где-то должна быть ошибка в рассуждениях, вероятно, при переходе от образа к прообразу и наоборот, но я всё равно не очень понимаю в чём проблема.

Утверждение:

$$ f(A \cap B) = f(A) \cap f(B).$$

Доказательство:

Пусть $y \in f(A \cap B)$, и $y = f(x)$, тогда, $x \in A \cap B$, то есть $x \in A$ и $x \in B$. Тогда, $f(x) \in f(A)$ и $f(x) \in f(B)$, то есть $y \in f(A) \cap f(B)$.

С другой стороны, если $y \in f(A) \cap f(B)$, то $y \in f(A)$ и $y \in f(B)$, то есть $x \in A$ и $x \in B$. Тогда, $x \in A \cap B$, то есть $y \in f(A \cap B)$.

Заранее благодарю за ответ!

[Otta]

ancom1337 в сообщении #1545456 писал(а):

то $y \in f(A)$ и $y \in f(B)$, то есть $x \in A$ и $x \in B$.

А кто сказал, что это один и тот же икс?

[ancom1337]

Otta в сообщении #1545457 писал(а):

ancom1337 в сообщении #1545456 писал(а):

то $y \in f(A)$ и $y \in f(B)$, то есть $x \in A$ и $x \in B$.

А кто сказал, что это один и тот же икс?

А почему они разные?

[mihaild]

ancom1337 в сообщении #1545465 писал(а):

А почему они разные?

А почему они должны быть одинаковыми?
Мы знаем, что $\exists x: x\in A \wedge f(x) = y$ и $\exists x: x \in B\wedge f(x) = y$. Но из $\exists x: P(x)$ и $\exists x: Q(x)$ совершенно не следует $\exists x: P(x) \wedge Q(x)$.

[Pphantom]

ancom1337, возьмите конкретный пример: $A=[1,2]$, $B=[-2,-1]$, $f(x)=x^2$ - и пошагово проверьте собственное доказательство с ним.

[ancom1337]

Спасибо за ответы! Понял свою ошибку.