как найти вероятность неравенства для функции от кси и эта?

[Kevsh]

Вопрос задаю чисто из любопытства, потому что на лекции как-то этот момент не очень понял. Есть такая вот теорема:

Сумма конечного числа независимых нормальных случайных величин также является нормальной случайной величиной: если случайные величины $\xi_1 \sim N(a_1,\sigma_1^2),...,\xi_n\sim N(a_n,\sigma_n^2)$ независимы, то СВ $\zeta=(\xi_1+...+\xi_n)\sim N(a_1+...+a_n,\sigma_1^2+...+\sigma_n^2)$.

То есть, если я знаю, что $\xi\sim N(1;\sigma^2=2)$ и $\eta\sim N(3; \sigma^2=5)$, то вероятность $P\{\xi + \eta\}$ ищется, вроде как, очень легко: достаточно сложить наши математические ожидания и сигмы, а потом подставить в формулу. Но вот если нам нужно найти, допустим, $P\{(\xi+\eta)^2 + 3\xi-5\eta\}$ при таких же распределениях, то я же уже не могу просто подставить вместо $\eta$ и $\xi$ мои математические ожидания, а затем сигмы? Или могу? Просто я тут попробовал проделать примерно то же самое для дискретных величин и у меня, допустим, математическое ожидание от функции не равно функции от математического ожидания (если только функция не линейная). Так еще в моём примере нужно перемножать разные случайные величины (если раскрывать квадрат). С другой стороны если так делать нельзя, то не очень понятно, как вообще можно найти такую вероятность.

[Евгений Машеров]

Интегралы выписывать. Которые, скорее всего, неберущиеся. То есть только численно.
Собственно, Вы объяснили, отчего такой узкий класс, как линейные функции, вызывает изрядный интерес. Потому, что в нём многое упрощается настолько, что задача оказывается решаемой простыми средствами.

[Lia]

Kevsh в сообщении #1542134 писал(а):

то вероятность $P\{\xi + \eta\}$ ищется,

То она не ищется, потому что не вероятность события.
То же касается и придуманного Вами

Kevsh в сообщении #1542134 писал(а):

допустим, $P\{(\xi+\eta)^2 + 3\xi-5\eta\}$

Сформулируйте точно, что требуется от задачи.

[Markus228]

Евгений Машеров в сообщении #1542146 писал(а):

Интегралы выписывать. Которые, скорее всего, неберущиеся. То есть только численно.

А тут нельзя через распределение хи-квадрат?

[Otta]

Markus228
Нельзя.

[Евгений Машеров]

Для начала - определить, что мы ищем. Потому что в постановке топикстартера ясно, что мы ищем "что-то вероятностное" и только. Если конкретизируем задачу и, скажем, будем искать матожидание нелинейной функции - может появиться выражение через известные распределения. А может и не появиться. Смотря по поставленной задаче.

[Kevsh]

Евгений Машеров
Вычислить вероятность $P\{(\xi+\eta)^2 + 3\xi-5\eta\}$, если $\xi$ и $\eta$ – независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону: $\xi\sim N(1;\sigma^2=2)$ , $\eta\sim N(3; \sigma^2=5)$

[Евгений Машеров]

Вероятность чего? Событие какое? Величина равна чему-то, или больше чего-то, или ещё в чём-то состоит? Или вычислять надо не вероятность, а функцию распределения вероятностей некоей случайной величины, заданной некоей формулой?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Lia в сообщении #1542153 писал(а):

Сформулируйте точно, что требуется от задачи.

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.