Отображение является сжатием

[artempalkin]

Пусть задано отображение метрического пространства $(\mathbb{R}^n, \rho)$ в себя:

$y_i=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_j+b_j$

(т.е. $y=Ax$).

Доказать, что условие $\forall i\in 1..n\ \ \sum\limits_{j=1}^n|a_{ij}|\leqslant \alpha<1$ является необходимым и достаточным, чтобы отображение являлось сжатием, если метрика пространства:

а) $\rho(x,\ y)=\max\limits_i|x_i-y_i|$

б) $\rho(x,\ y)=\sum\limits_{i=1}^n|x_i-y_i|$

Достаточность доказать несложно: нужно просто аккуратно рассмотреть цепочку неравенств $\rho(Ax,\ Ay)\leqslant\ldots$, это стандартная матанская работа. А вот необходимость... Подскажите, с чего можно начать, как подойти?

[TOTAL]

artempalkin в сообщении #1539548 писал(а):

Достаточность доказать несложно: нужно просто аккуратно рассмотреть цепочку неравенств $\rho(Ax,\ Ay)\leqslant\ldots$, это стандартная матанская работа. А вот необходимость... Подскажите, с чего можно начать, как подойти?

Необходимость означает, что стандартная матанская работа не позволит получить цепочку неравенств. Найдите причину, постройте пример, покажите, что для такого-то вектора сжимаемости нет (если не выполнено условие)

[artempalkin]

TOTAL в сообщении #1539551 писал(а):

Найдите причину, постройте пример, покажите, что для такого-то вектора сжимаемости нет (если не выполнено условие)

Так, спасибо, попробую.
Для пункта (а).

Пусть некоторые из $\sum\limits_{j=1}^n|a_{ij}|>1$. Выберем из них ту $i$, для которой $\sum\limits_{j=1}^n|a_{ij}|$ максимальна. Далее возьмем $x$ состоящий только из $1$ и $-1$, чтобы $\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_j=\sum\limits_{j=1}^n|a_{ij}|$, а $y=\theta$ (т.е. нулевой).

Тогда $\rho(x,y)=1$, а $\rho(Ax, Ay)=\sum\limits_{j=1}^n|a_{ij}|>1$. Значит, отображение не будет сжимающим.

Вроде так, так верно будет?

[artempalkin]

А в пункте (б)-то, мне кажется, ошибка!

Эти студенческие работы, везде ошибки и опечатки.

$\rho(Ax,Ay)=\sum\limits_{i=1}^n\left|\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(x_j-y_j)\right|\leqslant\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n|a_{ij}||x_j-y_j|=\sum\limits_{j=1}^n|x_j-y_j|\sum\limits_{i=1}^n |a_{ij}|\leqslant$ $\leqslant\max\limits_j\sum\limits_{i=1}^n |a_{ij}|\sum\limits_{j=1}^n|x_j-y_j|=\max\limits_j\sum\limits_{i=1}^n |a_{ij}|\rho(x,y)$.

То есть в пункте (б) $\forall j=1..n\ \ \max\limits_j\sum\limits_{i=1}^n |a_{ij}|<1$, чтобы отображение было сжатием (суммирование по другому индексу).

[artempalkin]

Ну и, соответственно, если взять в пункте (б) такое отображение, чтобы при некотором $j$ $\sum\limits_{i=1}^n |a_{ij}|\geqslant 1$, а потом взять $x=(0,0,\cdots,1_j,0,\cdots,0)$, а $y=\theta$, то

$$\rho(x,y)=1$$

$$\rho(Ax,Ay)=\sum\limits_{i=1}^n |a_{ij}|\geqslant 1,$$

то есть отображение не является сжатием.