Откуда возник определитель?

[Daggett]

Всем привет!

Изучаю высшую математику, возник вопрос по определителям: откуда они вообще берутся? :) Преподаватель нам показывал правила вычисления для второго и третьего порядков, а также понижение порядка, но неясно как вообще эти определители возникли. Я скачал Куроша "Курс высшей алгебры", но ситуация как-то не прояснилась. Там изначально рассказывается про определитель в процессе решения систем с двумя и тремя уравнениями, но возникает ощущение некоей притянутости за уши. Т.е. получается, запишем формулы для решения системы именно в таком виде (почему в таком виде, откуда это следует - неясно), а потом давайте рассмотрим целую простыню текста про перестановки и подстановки, которая вообще кажется взявшейся из ниоткуда. Остаётся стойкое впечатление, что определители появились вообще не из систем уравнений, что их вывели из каких-то иных соображений, а потом уже применили к системам. Или действительно эти переходы очевидны, просто я их не догоняю :)

И сразу уточню по ещё одному моменту: нам говорили о линейных пространствах. Мы рассматривали разные объекты и доказывали несколько свойств (коммутативность, ассоциативность и и.д.), чтобы показать, что данные объекты образуют пространство. Однако на этом ситуация как-то остановилась. Т.е. вообще неясно, зачем это, т.е. для чего доказывать, что, например, матрицы второго порядка образуют пространство? Такое ощущение, что взяли множество каких-то элементов и просто назвали новым словом "пространство". Что нам это даёт, какие свойства? Не может же быть, чтобы доказательство было ради доказательства :) Или эти пространства нужны зачем-то в иных разделах математики, а эти проверки свойств делались сугубо для тренировки перед переходом к каким-то более серьёзным вещам?

[Slav-27]

Определитель $n\times n$ матрицы из вещественных чисел равен ориентированному объёму $n$-мерного параллелепипеда, натянутого на её столбцы. (Он полностью определяется 3 свойствами: 1) увеличение стороны (столбца) в $k$ раз приводит к увеличению объёма в $k$ раз, 2) если поменять 2 столбца $u,v$ на $u+kv,v$, то объём не изменится (отрезали призму с одной стороны и приставили её с другой стороны), 3) нормировка: для столбцов единичной матрицы он $1$.)

Daggett в сообщении #1538327 писал(а):

Остаётся стойкое впечатление, что определители появились вообще не из систем уравнений

Исторически -- из систем уравнений: напишите линейную систему $ax+by=u, cx+dy=v$ и решайте её относительно $x,y$, как учили в школе, получатся формулы с определителем. Если попробовать систему из 3, ... уравнений, то тоже. Если долго про это думать, то можно придумать определитель.

Но это не самый простой способ, теперь проще всего так, мне кажется: определитель линейного оператора -- это скаляр, которым он действует на старшей внешней степени. Это некоторая абстракция вышенаписанного определения через объём, очень похоже, но длины (скалярного произведения) не требуется, просто векторное пространство. (У меня не получилось быстро найти в интернете простой текст, где бы это было написано.)

-- 09.11.2021, 12:48 --

Daggett в сообщении #1538327 писал(а):

Такое ощущение, что взяли множество каких-то элементов и просто назвали новым словом "пространство". Что нам это даёт, какие свойства?

Это очень удобный язык, чтобы говорить о системах линейных уравнений (системы линейных уравнений изучают с древности, а до ясного определения векторных пространств додумались только в конце 19-го века, и оказалось, что это очень удобно). В современной математике векторные пространства нужны почти везде.

[Sinoid]

Daggett в сообщении #1538327 писал(а):

Там изначально рассказывается про определитель в процессе решения систем с двумя и тремя уравнениями, но возникает ощущение некоей притянутости за уши. Т.е. получается, запишем формулы для решения системы именно в таком виде (почему в таком виде, откуда это следует - неясно), а потом давайте рассмотрим целую простыню текста про перестановки и подстановки, которая вообще кажется взявшейся из ниоткуда.

Вообще никакой притянутости: это обычное математическое обобщение: ищут, выявляют закономерность на чем-то более мелком, а потом распространяют эту закономерность на что-то более крупное. Заурядная математическая практика. Конечно, не хочу преувеличивать, но, как по мне, так значительная часть матеши выведена именно этим путем.

-- 09.11.2021, 14:31 --

Daggett в сообщении #1538327 писал(а):

Т.е. вообще неясно, зачем это, т.е. для чего доказывать, что, например, матрицы второго порядка образуют пространство? Такое ощущение, что взяли множество каких-то элементов и просто назвали новым словом "пространство". Что нам это даёт, какие свойства?

Как правило, ценность этого всего, по большому счету, то, ради чего это все и обобщалось, состоит в предоставления орудия для, так сказать, доказательства замкнутости некоторого множества объектов, т. е., что, совершая над любыми объектами этого множества определенные действия, мы никогда не выйдем за рамки этого множества.

[zykov]

Наверно изначально определитель возник при решении систем линейных уравнений.
Вот возьмите в общем виде систему из 2, 3, 4 уравнений и решите её методом Гаусса.
В ответе можно заметить закономерность (Метод Крамера). Оттуда и определитель.

Ещё очень важное свойство определителя $\det(A\cdot B)=\det(A) \cdot \det(B)$.

[svv]

Slav-27 в сообщении #1538348 писал(а):

Он полностью определяется 3 свойствами: 1) линейность по каждому столбцу: увеличение стороны в $k$ раз приводит к увеличению объёма в $k$ раз, 2) если поменять 2 столбца $u,v$ на $u+kv,v$, то объём не изменится (отрезали призму с одной стороны и приставили её с другой стороны), 3) нормировка: для столбцов единичной матрицы он $1$.

Хорошая картинка к свойству 2, которую я когда-то нарисовал по этому же поводу:


-- Вт ноя 09, 2021 14:49:06 --

Daggett в сообщении #1538327 писал(а):

Такое ощущение, что взяли множество каких-то элементов и просто назвали новым словом "пространство". Что нам это даёт, какие свойства?

Начиная с 8 аксиом векторного пространства и заканчивая всей линейной алгеброй, которая на этих свойствах основывается.

[Anton_Peplov]

Slav-27 в сообщении #1538348 писал(а):

Определитель $n\times n$ матрицы из вещественных чисел равен ориентированному объёму $n$-мерного параллелепипеда, натянутого на её столбцы.

Уточню для топикстартера, что столбец матрицы здесь надо понимать как координаты вектора в $n$-мерном пространстве. Наиболее наглядно на плоскости: площадь параллелограмма, образованного векторами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, равна определителю

$$\begin{vmatrix} x_1& x_2 \\ y_1& y_2 \\ \end{vmatrix}$$

(возможно, взятому со знаком минус).

-- 09.11.2021, 18:03 --

Daggett в сообщении #1538327 писал(а):

Или эти пространства нужны зачем-то в иных разделах математики, а эти проверки свойств делались сугубо для тренировки перед переходом к каким-то более серьёзным вещам?

Да и да. Очень нужны во всей линейной алгебре. Линейные операторы, евклидовы пространства и далее - везде. Толстые учебники про всё это написано, и без аксиом линейного пространства там как в арифметике без сложения.

[Daggett]

Большое спасибо всем, кто отписался :)

Наверное, я просто не совсем вижу эти закономерности и переходы. Вот я читаю в Куроше, что x1 и x2 выражаются вот так:



А дальше вижу, что автор связал эти выражения с матрицей из коэффициентов - ну ок, допустим, хотя и не очень очевидный переход. Потом построили такие же записи для системы из трёх уравнений, а потом внезапно перешли к подстановкам, а про системы вообще забыли. Почему к подстановкам, зачем к подстановкам - вообще неясно из предыдущего рассказа. Просто когда я читал про пределы, то решил глянуть Фихтенгольца (его мне посоветовали), и там всё понятно что и откуда. Т.е. сначала числа, потом последовательности чисел, потом функции. А здесь как-то эти подстановки выпрыгивают кажется из ниоткуда :)

Про объёмы я понял, мы разбирали смешанное произведение. Просто неясно, как математики додумались до этого. Вот, например, когда я читал про предел последовательности, там всё логично и понятно, т.е. нужно просто чтобы разность между членами последовательности и её пределом была меньше любого заданного числа, т.е. чтобы члены последовательности приближались к пределу как угодно близко. Это логично и интуитивно понятно. А с определителем как-то нет такой логичности... Может, мне просто кажется, а на самом деле она есть, просто я её не вижу :)

И для пространств похоже получается. Т.е., например, когда мы рассматривали пределы, то потом перешли к производной, а потом находили интервалы, где функция возрастала и убывала. Применяли производную в задачах. Не просто находили её, а использовали для исследований. А эти пространства - мы доказали, что какой-то набор объектов можно назвать пространством - и на этом всё. Т.е. дальше ничего нет. Или мы просто не рассматривали, что там дальше. Где это потом нужно и зачем?

Сорри за сумбурное описание :)

[Anton_Peplov]

Daggett в сообщении #1538395 писал(а):

Просто неясно, как математики додумались до этого.

Ну, "как математики додумались когда-то давно" и "как сейчас это на пальцах понять" - два разных вопроса. Математики (и вообще учёные) часто откапывают слона по частям, причём один откопал хвост, другой через полвека - хобот, третий - кусочек уха, и только через сто лет пришло понимание, что это цельный слон. Так что если задача понять, как устроен слон, лезть в историю его раскопок противопоказано. Только запутаетесь.

Daggett в сообщении #1538395 писал(а):

Потом построили такие же записи для системы из трёх уравнений, а потом внезапно перешли к подстановкам, а про системы вообще забыли. Почему к подстановкам, зачем к подстановкам - вообще неясно из предыдущего рассказа. Просто когда я читал про пределы, то решил глянуть Фихтенгольца (его мне посоветовали), и там всё понятно что и откуда. Т.е. сначала числа, потом последовательности чисел, потом функции. А здесь как-то эти подстановки выпрыгивают кажется из ниоткуда :)

Если в одном учебнике написано не очень понятно, попробуйте другой учебник. Учебников по линейной алгебре тьма тьмущая, на любой вкус.

Daggett в сообщении #1538395 писал(а):

Вот, например, когда я читал про предел последовательности, там всё логично и понятно, т.е. нужно просто чтобы разность между членами последовательности и её пределом была меньше любого заданного числа, т.е. чтобы члены последовательности приближались к пределу как угодно близко. Это логично и интуитивно понятно. А с определителем как-то нет такой логичности... Может, мне просто кажется, а на самом деле она есть, просто я её не вижу :)

Да, меня в своё время это тоже пугало (и до сих пор иногда оторопь берёт). Откуда эта странная формула для определителя? Что ещё за разложение по минорам? Почему так громоздко и уродливо? Что, теперь всё можно? Воруй, убивай, души гусей?
Но что делать, не всё в математике так интуитивно понятно и естественно, как понятие предела. Надо привыкнуть. Так уж устроена эта часть математики. Если бы линейную независимость векторов можно было проверить проще и красивее, чем посчитав определитель их координат, мы и делали бы это проще и красивее.

Daggett в сообщении #1538395 писал(а):

Не просто находили её, а использовали для исследований. А эти пространства - мы доказали, что какой-то набор объектов можно назвать пространством - и на этом всё. Т.е. дальше ничего нет.

Будет вам дальше, потерпите до главы про линейные операторы.

[mihaild]

Daggett в сообщении #1538395 писал(а):

А здесь как-то эти подстановки выпрыгивают кажется из ниоткуда

Потому что определитель $n$-го порядка получается не из одной предыдущей конструкции, а из двух, на первый взгляд несвязанных: определителей малого порядка и перестановок (замечаем между ними связь и доказываем её). Можно получить понятие определителя и более "общим" (задав свойства), но это существенно более длинный путь.

И кстати современное понятие производной совсем не похоже на использовавшееся в 17 веке. Да и вообще исторически порядок был обратным: сначала придумали производные, потом пределы, потом вещественные числа.

Daggett в сообщении #1538395 писал(а):

А эти пространства - мы доказали, что какой-то набор объектов можно назвать пространством - и на этом всё. Т.е. дальше ничего нет. Или мы просто не рассматривали, что там дальше. Где это потом нужно и зачем?

Не рассматривали. Дальше нужны конкретные пространства. Например существенная часть "школьной" геометрии очень красиво формулируется на языке линейной алгебры. Или с совсем другой стороны - коды, исправляющие ошибки, тоже используют линейные пространства, на этот раз над конечными полями, а не над $\mathbb R$.

[Sinoid]

Daggett в сообщении #1538395 писал(а):

Почему к подстановкам, зачем к подстановкам - вообще неясно из предыдущего рассказа.

Это задел на потом: знаки произведений-то откуда брать будем?

-- 09.11.2021, 20:30 --

Anton_Peplov в сообщении #1538401 писал(а):

потерпите до главы про линейные операторы.

В курсе Куроша вообще операторов нет.

[Pphantom]

Daggett, пока проехали, но все-таки постарайтесь набирать формулы правильно.

[worm2]

Евклидово пространство $E_1$ — это числовая прямая.
Евклидово пространство $E_2$ — это координатная плоскость $Oxy$, в котором координаты именуются не как $x$, $y$, а как $x_1$, $x_2$, а точки считаются векторами.
Евклидово пространство $E_3$ — это обыкновенное трёхмерное пространство $Oxyz$, в котором координаты именуются не как $x_1$, $x_2$, $x_3$, точки опять считаются векторами.
В двумерном и трёхмерном пространствах можно ввести такие понятия, как "длина вектора", "скалярное произведение", "площадь параллелограмма..." ("объём параллелепипеда..."), "... натянутого на 2(3) вектора", "расстояние от точки до прямой", "проекция вектора на плоскость или другой вектор".

Это всё сведения, известные со школы. Абстрактное пространство — это именно обобщение хорошо известного вам со школы трёхмерного пространства на случай произвольного числа измерений. По идее, вы сначала учитесь на 2 и 3 измерениях что-то посчитать, выводите формулы и потом пытаетесь эти формулы применить уже чисто алгебраически, на случай произвольного числа измерений: абстрактный вектор из абстрактного евклидового пространства $E_n$ может восприниматься просто как набор чисел $(x_1, x_2, \dots, x_n)$. А таблица чисел под названием "матрица" определяет знакомые понятия "отражение", "растяжение", "поворот", а также любые их комбинации. Потом можно почувствовать обратную связь, от алгебры к геометрии: системы линейных уравнений можно рассматривать как пересечение гиперплоскостей в многомерном пространстве (а системы линейных уравнений очень много где встречаются, в т.ч. в тех местах, где никакого намёка на геометрию нет).

На первом этапе определитель — достаточно сложная штука, но тут уже написали и даже нарисовали его физический смысл. По-хорошему, его алгебраические свойства хорошо бы изучать после комбинаторики, которую вы всё равно будете изучать, а до того можно пока пропустить эти подстановки/перестановки.

Векторное произведение существует только в трёхмерном пространстве, хотя смешанное произведение (которое в 3-мерном случае определяется через векторное), существует и имеет ясный физический смысл во всех измерениях. Согласен, это не самая интуитивно понятная вещь в линейной алгебре. Но я тут тоже предлагаю не отчаиваться, а попробовать этого зверя пощупать, посмотреть, как с его помощью решаются некоторые стереометрические задачи.

[Mikhail_K]

Daggett в сообщении #1538395 писал(а):

А эти пространства - мы доказали, что какой-то набор объектов можно назвать пространством - и на этом всё. Т.е. дальше ничего нет.

Странно, что дальше ничего нет. Дальше должен следовать огромный раздел курса, посвящённый линейным пространствам. Ну, может, вначале решили рассказать о чём-то другом, но такой раздел обязательно будет.

То есть все теоремы в этом разделе будут о линейных пространствах.
Так вот, если вы вначале проверили, что такие-то и такие-то объекты образуют линейное пространство, то все многочисленные теоремы о линейных пространствах будут справедливы для всех этих объектов. Потому что они справедливы для любых линейных пространств. В результате, не нужно будет доказывать эти теоремы для каждого из этих видов объектов отдельно.

Особенно впечатляющим это становится в функциональном анализе - когда изучаются не просто линейные, а скажем линейные нормированные или метрические пространства. Там оказывается, что многие задачи, на вид совершенно друг на друга не похожие и вообще из разных разделов математики, могут решаться одними и теми же методами. Потому что в этих задачах фигурируют объекты, пусть совершенно различные по смыслу, но образующие подходящие пространства - и значит для них автоматически справедливы все теоремы, доказанные для этих пространств.

[EUgeneUS]

worm2 в сообщении #1538408 писал(а):

Евклидово пространство $E_1$ — это числовая прямая.
Евклидово пространство $E_2$ — это координатная плоскость $Oxy$, в котором координаты именуются не как $x$, $y$, а как $x_1$, $x_2$, а точки считаются векторами.
Евклидово пространство $E_3$ — это обыкновенное трёхмерное пространство $Oxyz$, в котором координаты именуются не как $x_1$, $x_2$, $x_3$, точки опять считаются векторами.

Хммм. Пространство, даже Евклидово, не предполагает, что на нём введена система координат. Нет?

[Anton_Peplov]

EUgeneUS в сообщении #1538413 писал(а):

Пространство, даже Евклидово, не предполагает, что на нём введена система координат. Нет?

Думаю, В.П. Катаев хотел сказать, что числовая прямая/координатная плоскость - простейший пример одномерного/двумерного евклидова (и вообще линейного) пространства. Который хорош тем, что многие свойства линейного пространства становятся на нём наглядными.

А чтобы ввести в линейном пространстве систему координат, достаточно выбрать любой базис. Коэффициенты разложения вектора $\mathbf x$ по базису и есть координаты вектора $\mathbf x$. Разумеется, в одном и том же пространстве можно выбирать разные базисы, и при этом будут получаться разные координаты вектора $\mathbf x$.