Максимальная площадь четырехугольника

[Побережный Александр]

Четырёхугольник имеет стороны длиной $a, b, c, d$.
Пусть $a<b<c<d$.
Какая может быть максимальная площадь четырёхугольника с такими сторонами?

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Интересна физическая аналогия. Пусть мы внутрь четырёхугольника закачиваем газ. Одну сторону будем удерживать. Для остальных сторон рассмотреть условия их равновесия.

[slavav]

Интуиция подсказывает что четырехугольник будет вписан в окружность.

-- 05.11.2021, 20:55 --

Ответ тут в комментарии.

[zykov]

Вписанный четырёхугольник

Цитата:

Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон.

[lel0lel]

Не безынтересен вопрос -- какая может быть минимальная площадь?

[zykov]

lel0lel в сообщении #1537852 писал(а):

какая может быть минимальная площадь?

Если выпуклый, то вырождается в треугольник - одна из сторон равна сумме двух из этих 4 величин.
Если не выпуклый, то тоже вырождается в треугольник - одна из строно равна разности двух из этих 4 величин.

[vicvolf]

lel0lel в сообщении #1537852 писал(а):

Не безынтересен вопрос -- какая может быть минимальная площадь?

$S=0$, когда $a=b+c+d$.

[worm2]

zykov в сообщении #1537861 писал(а):

lel0lel в сообщении #1537852 писал(а):

какая может быть минимальная площадь?

Если выпуклый, то вырождается в треугольник - одна из сторон равна сумме двух из этих 4 величин.
Если не выпуклый, то тоже вырождается в треугольник - одна из сторон равна разности двух из этих 4 величин.

Да, это следует из той же обобщённой формулы Брахмагупты. Сумма противоположных углов должна быть минимальна (соответственно, сумма двух других противоположных углов — максимальна). Два локальных минимума, из которых выбирается тот, что меньше.
Правда, может быть ещё до 4 локальных минимумов, соответствующих самопересекающимся вариантам четырёхугольника. Если мы допускаем такие варианты, надо их тоже проверить (в этом случае получается, что противоположные углы должны быть по возможности равны, но противоположно ориентированы).