Взятие смешанной производной

[denmanorwat]

Здравствуйте. Проверьте, пожалуйста, правильно ли я взял смешанную производную.
Рассмотрим функцию $f(x, y) = \arcsin{x \over \sqrt{x^2+y^2}}$, и её смешанную производную: $ {\partial f \over \partial x \partial y}. $ (Для удобства приведу ${\partial f \over \partial x} = {|y| \over x^2 + y^2} $).
В любой точке $ y \neq 0 $ выполнено: $ {\partial f \over \partial x \partial y} = {(x^2 - y^2) sign(y) \over (x^2+y^2)^2} $. В точке $ y = 0, x \neq 0 $ же проверим, существует ли производная:

\[ \lim_{y \to 0} {{|y| \over x^2 + y^2} - 0 \over y - 0} = \lim_{y \to 0} {sign(y) y^2 \over x^2 + y^2}. \]

Этот предел равен $0.$ (Функция в числителе, в знаменателе имеют предел, функция в знаменателе не обращается в нуль, предел числителя: $0$, предел знаменателя: $ x^2 $). Подставим в выражение для смешанной производной $ y = 0 $. Получим, что это выражение для смешанной производной обратится в $0$. Таким образом, смешанную производную ${\partial f \over \partial x \partial y}$ можно записать в виде: $ {\partial f \over \partial x \partial y} = {(x^2 - y^2) sign(y) \over (x^2+y^2)^2} $

[EUgeneUS]

формулы получены верно (проверил в ВольфрамАльфа)

Вывод о существовании производной при

denmanorwat в сообщении #1536031 писал(а):

$ y = 0, x \neq 0 $

неверный. Производной там нет (производная терпит разрыв)

[svv]

В точках $y=0, x\neq 0$ ведь даже производная $\frac{\partial f}{\partial y}$ не существует.

И ещё, Вы пишете $\frac{\partial f}{\partial x \partial y}$, а правильное обозначение $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

[denmanorwat]

EUgeneUS в сообщении #1536114 писал(а):

формулы получены верно (проверил в ВольфрамАльфа)

Вывод о существовании производной при

denmanorwat в сообщении #1536031 писал(а):

$ y = 0, x \neq 0 $

неверный. Производной там нет (производная терпит разрыв)

svv в сообщении #1536213 писал(а):

В точках $y=0, x\neq 0$ ведь даже производная $\frac{\partial f}{\partial y}$ не существует.

И ещё, Вы пишете $\frac{\partial f}{\partial x \partial y}$, а правильное обозначение $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

Но ведь производная $ \partial f \over \partial x $ существует. И предел,

\[ \lim_{y \to 0} { { |y| \over x^2 + y^2} - 0 \over y - 0} = 0 \]

Значит, существует и смешанная производная $ {\partial^2 f \over \partial x \partial y} = 0 $, разве не так?
P.S. Доказательство существования предела:

\[ \lim_{y \to 0} { { |y| \over x^2 + y^2} - 0 \over y - 0} = \lim_{y \to 0} {|y|y \over x^2 + y^2} = \lim_{y \to 0} {sign(y) y^2 \over x^2 + y^2}. \]

Рассмотрим левосторонний и правосторонний пределы:

\[ \lim_{y \to +0} {sign(y) y^2 \over x^2 + y^2} = \lim_{y \to +0} {y^2 \over x^2 + y^2}. \]

Числитель этой дроби стремится к 0, знаменатель этой дроби стремится к $ x^2 $, $ x \neq 0 $ по условию. Тогда, вся дробь стремится к 0.

\[ \lim_{y \to -0} {sign(y) y^2 \over x^2 + y^2} = \lim_{y \to -0} {-y^2 \over x^2 + y^2}. \]

Числитель этой дроби стремится к 0, знаменатель этой дроби стремится к $ x^2 $, $ x \neq 0 $ по условию. Тогда, вся дробь стремится к 0.
Левосторонний и правосторонний пределы равны, значит, предел существует и равен 0.

[svv]

Запись $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ означает $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$, а не $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$. Для существования этой смешанной производной необходимо существование производной $\frac{\partial f}{\partial y}$.

[EUgeneUS]

denmanorwat в сообщении #1536285 писал(а):

Доказательство существования предела:
\[ \lim_{y \to 0} { { |y| \over x^2 + y^2} - 0 \over y - 0} = \lim_{y \to 0} {|y|y \over x^2 + y^2} = \lim_{y \to 0} {sign(y) y^2 \over x^2 + y^2}. \]

Чёй-та? У Вас даже размерности правой и левой части не совпадают.
UPD: формула в цитате криво отобразилась, но это не мои проблемы.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Да, действительно, формулы надо поправить. Не хватает обрамляющих тэгов, которые ставятся автоматически при использовании долларов (но не ставятся при использованном вами варианте оформления выключных формул).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.