Непрерывность в окрестности ф-ии, имеющей пр-ю в точке

[denmanorwat]

Здравствуйте. Рассмотрим функцию одной переменной. Я правильно понимаю, что если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в некоторой окрестности точки? И что если функция имеет вторую производную в точке, то она имеет первую производную в некоторой окрестности этой точки?
Если это так, то, пожалуйста, дайте подсказку, как это показать.

[Null]

1.Есть ли функция непрерывная в точке, но не непрерывная в любой окрестности этой точки?
2.Тут ответ прямо в определении 2рой производной.

[kmpl]

denmanorwat в сообщении #1532321 писал(а):

Я правильно понимаю, что если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в некоторой окрестности точки?

Это не всегда выполняется. Умножьте функцию Дирихле на параболу $x^2$. Получится функция, непрерывная и дифференцируемая только в одной точке - нуле.

[denmanorwat]

Спасибо огромное за Ваши ответы!