Сложная система полиномиальных уравнений третьей степени

[nnosipov]

kotenok gav в сообщении #1529263 писал(а):

Можно ли их хоть как-нибудь решить (хотя бы найти количество решений)?

А над чем это предполагается решать? Как я понял, неизвестных 8, а уравнений 4, так что над $\mathbb{C}$ решений может быть бесконечно много (если, конечно, система не какая-то особенная). Можно какие-то неизвестные объявить параметрами и попробовать найти базис Гребнера относительно остальных неизвестных. Поскольку степень уравнений немаленькая, CAS, скорее всего, не справится с этой задачей. Можно, впрочем, поиграться с упорядочиванием переменных: pure lexicographic, total degree, etc. Но выглядит довольно безнадежно. (Как пример: у меня Maple не смог найти базис Гребнера (для pure lexicographic) для системы, где неизвестные --- это стороны треугольника, которые хочется выразить через данные биссектрисы. Казалось бы, всего три уравнения на три неизвестных, и степени уравнений не слишком велики, но в буквенном виде --- когда биссектрисы не конкретные числа, а буквы --- никак, памяти не хватило.) Остается искать какие-то частные решения.

[kotenok gav]

nnosipov в сообщении #1529270 писал(а):

А над чем это предполагается решать?

Над $\mathbb C$. Интересует количество решений и найти хотя бы несколько частных.

[nnosipov]

kotenok gav в сообщении #1529273 писал(а):

Интересует количество решений

Я правильно понял, что число неизвестных равно 8?

[Xaositect]

Какая конечная цель? Пока со всем этим проще работать в исходной тензорной формулировке $E(Sx, Sy) = SE(x, y)$.

[Geen]

kotenok gav в сообщении #1529267 писал(а):

Потому что у меня две матрицы, а не одна.

Это заданные матрицы? Если нет, то что их связывает кроме того, что они корни одного и того же уравнения?

-- 22.08.2021, 17:57 --

nnosipov в сообщении #1529275 писал(а):

kotenok gav в сообщении #1529273 писал(а):

Интересует количество решений

Я правильно понял, что число неизвестных равно 8?

Возможно я неправильно понимаю, но кажется 12... на 8 уравнений.

[lel0lel]

kotenok gav в сообщении #1529263 писал(а):

Можно ли их хоть как-нибудь решить

Если матпакет не справился, то имеет смысл обратиться к подходу Xaositect. Тем более, даже решив эти уравнения, придётся проверять, что при таких $S$ действительно получаются одинаковые нетривиальные решения. Ну или попробовать ввести эпсилон и напрямую приравнять решения, вот только получающаяся система не будет проще.

[kotenok gav]

nnosipov в сообщении #1529275 писал(а):

Я правильно понял, что число неизвестных равно 8?

Да (если точнее, 8 $S$ и 8 $e$).

Xaositect в сообщении #1529276 писал(а):

Какая конечная цель?

Найти количество решений и как можно больше частных решений.

Geen в сообщении #1529282 писал(а):

Это заданные матрицы? Если нет, то что их связывает кроме того, что они корни одного и того же уравнения?

Нет, их связывает друг с другом только это.

[Geen]

kotenok gav в сообщении #1529287 писал(а):

Нет, их связывает друг с другом только это.

Тогда Вы неправильно подсчитали число неизвестных. У Вас тогда, действительно, 12 неизвестных и 8 уравнений.

[kotenok gav]

Почему?

[Geen]

8 неизвестных в $E$ плюс 4 неизвестных в $S$. см.

Xaositect в сообщении #1529276 писал(а):

в исходной тензорной формулировке $E(Sx, Sy) = SE(x, y)$.

[kotenok gav]

Хорошо, тогда можно сказать, что это четыре переменных. Но тогда у нас получится лишь одно уравнение.

[Geen]

kotenok gav в сообщении #1529302 писал(а):

Хорошо, тогда можно сказать, что это четыре переменных.

У Вас $E$ задано?

kotenok gav в сообщении #1529302 писал(а):

Но тогда у нас получится лишь одно уравнение.

Для фиксированных $x,y$ это $n$ уравнений (в случае $n$-мерного пространства). Но равенство должно быть верно для любых $x,y$ - значит нужно задать $n^2$ линейно-независимых пар. Итого, будет $n^3$ уравнений.

[kotenok gav]

Geen в сообщении #1529309 писал(а):

У Вас $E$ задано?

Нет.

Geen в сообщении #1529309 писал(а):

Для фиксированных $x,y$ это $n$ уравнений (в случае $n$-мерного пространства). Но равенство должно быть верно для любых $x,y$ - значит нужно задать $n^2$ линейно-независимых пар. Итого, будет $n^3$ уравнений.

Я говорю про уравнения на $S$. В $n$-мерном пространстве будет $n^3$ исходных уравнений и $n^3+n^2$ переменных для каждой $S$ (или $n^4$ и $2n^3$ в сумме).

[Geen]

Пусть у нас есть два уравнения с тремя неизвестными

$$\left\{ \begin{array}{rcl} f(x,y,z)&=&0 \\ g(x,y,z)&=&0 \\ \end{array} \right.$$

Чего-то не хватает... Тогда скажем, что у нас иксов два:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} f(x_1,y,z)&=&0 \\ g(x_1,y,z) &=&0 \\ f(x_2,y,z) &=&0 \\ g(x_2,y,z)&=&0 \\ \end{array} \right.$$

Вроде как хорошо стало - 4 неизвестных и 4 уравнения

Вот только не работает такой приём - не надо считать "каждый $S$" отдельно...

[Xaositect]

Вообще задача хорошая, буду студентам давать может быть.

Элементарное описание всех решений есть (а вот для трехмерного случая уже вряд ли), но найти его без знания теории представлений и тензоров сложно. Постараюсь позже написать.