Сложная система полиномиальных уравнений третьей степени

[kotenok gav]

Как можно решить следующую систему уравнений?

$$\forall\;0\leq i,j_1,j_2,k\leq1\;\;\sum\limits^1_{i_1=0}\sum\limits^1_{i_2=0}e_{i_1,i_2,i}S_{k,i_1,j_1}S_{k,i_2,j_2}=\sum\limits^1_{j=0}e_{j_1,j_2,j}S_{k,i,j}$$

Mathematica решить не может. Тривиальное решение (все $e_{i,j,k}$ равны нулю, $S_{i,j,k}$ любые) видно сразу, но хочется хотя бы узнать, есть ли другие решения.

[novichok2018]

Может быть затратить время и место и записать систему без сокращений и индексов?
Вроде есть стандартные методы решения полиноминальных систем, или нет?

[kotenok gav]

В каком смысле "без индексов"? Вот полная запись:

$$\begin{cases} e_{0,0,0} S_{0,0,0}^2+e_{0,1,0} S_{0,1,0} S_{0,0,0}+e_{1,0,0} S_{0,1,0} S_{0,0,0}+e_{1,1,0} S_{0,1,0}^2=e_{0,0,0} S_{0,0,0}+e_{0,0,1} S_{0,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{1,0,0}^2+e_{0,1,0} S_{1,1,0} S_{1,0,0}+e_{1,0,0} S_{1,1,0} S_{1,0,0}+e_{1,1,0} S_{1,1,0}^2=e_{0,0,0} S_{1,0,0}+e_{0,0,1} S_{1,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{0,0,0} S_{0,0,1}+e_{1,0,0} S_{0,1,0} S_{0,0,1}+e_{0,1,0} S_{0,0,0} S_{0,1,1}+e_{1,1,0} S_{0,1,0} S_{0,1,1}=e_{0,1,0} S_{0,0,0}+e_{0,1,1} S_{0,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{1,0,0} S_{1,0,1}+e_{1,0,0} S_{1,1,0} S_{1,0,1}+e_{0,1,0} S_{1,0,0} S_{1,1,1}+e_{1,1,0} S_{1,1,0} S_{1,1,1}=e_{0,1,0} S_{1,0,0}+e_{0,1,1} S_{1,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{0,0,0} S_{0,0,1}+e_{0,1,0} S_{0,1,0} S_{0,0,1}+e_{1,0,0} S_{0,0,0} S_{0,1,1}+e_{1,1,0} S_{0,1,0} S_{0,1,1}=e_{1,0,0} S_{0,0,0}+e_{1,0,1} S_{0,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{1,0,0} S_{1,0,1}+e_{0,1,0} S_{1,1,0} S_{1,0,1}+e_{1,0,0} S_{1,0,0} S_{1,1,1}+e_{1,1,0} S_{1,1,0} S_{1,1,1}=e_{1,0,0} S_{1,0,0}+e_{1,0,1} S_{1,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{0,0,1}^2+e_{0,1,0} S_{0,1,1} S_{0,0,1}+e_{1,0,0} S_{0,1,1} S_{0,0,1}+e_{1,1,0} S_{0,1,1}^2=e_{1,1,0} S_{0,0,0}+e_{1,1,1} S_{0,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{1,0,1}^2+e_{0,1,0} S_{1,1,1} S_{1,0,1}+e_{1,0,0} S_{1,1,1} S_{1,0,1}+e_{1,1,0} S_{1,1,1}^2=e_{1,1,0} S_{1,0,0}+e_{1,1,1} S_{1,0,1}\\ e_{0,0,1} S_{0,0,0}^2+e_{0,1,1} S_{0,1,0} S_{0,0,0}+e_{1,0,1} S_{0,1,0} S_{0,0,0}+e_{1,1,1} S_{0,1,0}^2=e_{0,0,0} S_{0,1,0}+e_{0,0,1} S_{0,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{1,0,0}^2+e_{0,1,1} S_{1,1,0} S_{1,0,0}+e_{1,0,1} S_{1,1,0} S_{1,0,0}+e_{1,1,1} S_{1,1,0}^2=e_{0,0,0} S_{1,1,0}+e_{0,0,1} S_{1,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{0,0,0} S_{0,0,1}+e_{1,0,1} S_{0,1,0} S_{0,0,1}+e_{0,1,1} S_{0,0,0} S_{0,1,1}+e_{1,1,1} S_{0,1,0} S_{0,1,1}=e_{0,1,0} S_{0,1,0}+e_{0,1,1} S_{0,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{1,0,0} S_{1,0,1}+e_{1,0,1} S_{1,1,0} S_{1,0,1}+e_{0,1,1} S_{1,0,0} S_{1,1,1}+e_{1,1,1} S_{1,1,0} S_{1,1,1}=e_{0,1,0} S_{1,1,0}+e_{0,1,1} S_{1,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{0,0,0} S_{0,0,1}+e_{0,1,1} S_{0,1,0} S_{0,0,1}+e_{1,0,1} S_{0,0,0} S_{0,1,1}+e_{1,1,1} S_{0,1,0} S_{0,1,1}=e_{1,0,0} S_{0,1,0}+e_{1,0,1} S_{0,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{1,0,0} S_{1,0,1}+e_{0,1,1} S_{1,1,0} S_{1,0,1}+e_{1,0,1} S_{1,0,0} S_{1,1,1}+e_{1,1,1} S_{1,1,0} S_{1,1,1}=e_{1,0,0} S_{1,1,0}+e_{1,0,1} S_{1,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{0,0,1}^2+e_{0,1,1} S_{0,1,1} S_{0,0,1}+e_{1,0,1} S_{0,1,1} S_{0,0,1}+e_{1,1,1} S_{0,1,1}^2=e_{1,1,0} S_{0,1,0}+e_{1,1,1} S_{0,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{1,0,1}^2+e_{0,1,1} S_{1,1,1} S_{1,0,1}+e_{1,0,1} S_{1,1,1} S_{1,0,1}+e_{1,1,1} S_{1,1,1}^2=e_{1,1,0} S_{1,1,0}+e_{1,1,1} S_{1,1,1} \end{cases}$$

(Вот запись с заменой квадратов произведениями)

$$\begin{cases} e_{0,0,0} S_{0,0,0} S_{0,0,0}+e_{0,1,0} S_{0,1,0} S_{0,0,0}+e_{1,0,0} S_{0,1,0} S_{0,0,0}+e_{1,1,0} S_{0,1,0} S_{0,1,0}=e_{0,0,0} S_{0,0,0}+e_{0,0,1} S_{0,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{1,0,0} S_{1,0,0}+e_{0,1,0} S_{1,1,0} S_{1,0,0}+e_{1,0,0} S_{1,1,0} S_{1,0,0}+e_{1,1,0} S_{1,1,0} S_{1,1,0}=e_{0,0,0} S_{1,0,0}+e_{0,0,1} S_{1,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{0,0,0} S_{0,0,1}+e_{1,0,0} S_{0,1,0} S_{0,0,1}+e_{0,1,0} S_{0,0,0} S_{0,1,1}+e_{1,1,0} S_{0,1,0} S_{0,1,1}=e_{0,1,0} S_{0,0,0}+e_{0,1,1} S_{0,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{1,0,0} S_{1,0,1}+e_{1,0,0} S_{1,1,0} S_{1,0,1}+e_{0,1,0} S_{1,0,0} S_{1,1,1}+e_{1,1,0} S_{1,1,0} S_{1,1,1}=e_{0,1,0} S_{1,0,0}+e_{0,1,1} S_{1,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{0,0,0} S_{0,0,1}+e_{0,1,0} S_{0,1,0} S_{0,0,1}+e_{1,0,0} S_{0,0,0} S_{0,1,1}+e_{1,1,0} S_{0,1,0} S_{0,1,1}=e_{1,0,0} S_{0,0,0}+e_{1,0,1} S_{0,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{1,0,0} S_{1,0,1}+e_{0,1,0} S_{1,1,0} S_{1,0,1}+e_{1,0,0} S_{1,0,0} S_{1,1,1}+e_{1,1,0} S_{1,1,0} S_{1,1,1}=e_{1,0,0} S_{1,0,0}+e_{1,0,1} S_{1,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{0,0,1} S_{0,0,1}+e_{0,1,0} S_{0,1,1} S_{0,0,1}+e_{1,0,0} S_{0,1,1} S_{0,0,1}+e_{1,1,0} S_{0,1,1} S_{0,1,1}=e_{1,1,0} S_{0,0,0}+e_{1,1,1} S_{0,0,1}\\ e_{0,0,0} S_{1,0,1} S_{1,0,1}+e_{0,1,0} S_{1,1,1} S_{1,0,1}+e_{1,0,0} S_{1,1,1} S_{1,0,1}+e_{1,1,0} S_{1,1,1} S_{1,1,1}=e_{1,1,0} S_{1,0,0}+e_{1,1,1} S_{1,0,1}\\ e_{0,0,1} S_{0,0,0} S_{0,0,0}+e_{0,1,1} S_{0,1,0} S_{0,0,0}+e_{1,0,1} S_{0,1,0} S_{0,0,0}+e_{1,1,1} S_{0,1,0} S_{0,1,0}=e_{0,0,0} S_{0,1,0}+e_{0,0,1} S_{0,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{1,0,0} S_{1,0,0}+e_{0,1,1} S_{1,1,0} S_{1,0,0}+e_{1,0,1} S_{1,1,0} S_{1,0,0}+e_{1,1,1} S_{1,1,0} S_{1,1,0}=e_{0,0,0} S_{1,1,0}+e_{0,0,1} S_{1,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{0,0,0} S_{0,0,1}+e_{1,0,1} S_{0,1,0} S_{0,0,1}+e_{0,1,1} S_{0,0,0} S_{0,1,1}+e_{1,1,1} S_{0,1,0} S_{0,1,1}=e_{0,1,0} S_{0,1,0}+e_{0,1,1} S_{0,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{1,0,0} S_{1,0,1}+e_{1,0,1} S_{1,1,0} S_{1,0,1}+e_{0,1,1} S_{1,0,0} S_{1,1,1}+e_{1,1,1} S_{1,1,0} S_{1,1,1}=e_{0,1,0} S_{1,1,0}+e_{0,1,1} S_{1,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{0,0,0} S_{0,0,1}+e_{0,1,1} S_{0,1,0} S_{0,0,1}+e_{1,0,1} S_{0,0,0} S_{0,1,1}+e_{1,1,1} S_{0,1,0} S_{0,1,1}=e_{1,0,0} S_{0,1,0}+e_{1,0,1} S_{0,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{1,0,0} S_{1,0,1}+e_{0,1,1} S_{1,1,0} S_{1,0,1}+e_{1,0,1} S_{1,0,0} S_{1,1,1}+e_{1,1,1} S_{1,1,0} S_{1,1,1}=e_{1,0,0} S_{1,1,0}+e_{1,0,1} S_{1,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{0,0,1} S_{0,0,1}+e_{0,1,1} S_{0,1,1} S_{0,0,1}+e_{1,0,1} S_{0,1,1} S_{0,0,1}+e_{1,1,1} S_{0,1,1} S_{0,1,1}=e_{1,1,0} S_{0,1,0}+e_{1,1,1} S_{0,1,1}\\ e_{0,0,1} S_{1,0,1} S_{1,0,1}+e_{0,1,1} S_{1,1,1} S_{1,0,1}+e_{1,0,1} S_{1,1,1} S_{1,0,1}+e_{1,1,1} S_{1,1,1} S_{1,1,1}=e_{1,1,0} S_{1,1,0}+e_{1,1,1} S_{1,1,1} \end{cases}$$

[lel0lel]

Относительно $e$ система линейная. Неужели Wolfram не справляется?

[kotenok gav]

Так $e$ восемь, а уравнений в системе - шестнадцать.

[lel0lel]

Тогда, скорее всего, для произвольных S решений нет, если только уравнения явно не являются зависимыми. Можно задавать интересующие нас значения S и просить Wolfram решить систему, если решений нет, значит нет. Или можно попробовать исследовать при каких S система разрешима, поступаем так: разбиваем на две системы по 8, решаем их и приравниваем решения, получится 8 уравнений на S, пытаемся решить её.

[kotenok gav]

lel0lel в сообщении #1529209 писал(а):

разбиваем на две системы по 8, решаем их

Тогда получается, что все $e$ равны нулю, т.е. нет нетривиальных решений. Жаль...

[Xaositect]

Нетривиальные решения есть, например, $S_{kij} = \delta_{ij}$ и $e$ любое. Или можно взять $e_{ijk}$ равным $1$ при $i = j = k$ и $0$ иначе и $S_{kij}$ равным $0$ если $i + j + k$ четное и $1$ иначе.

Рассмотрим билинейное отображение $E \colon \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ такое, что $E(x, y) = z$ при $z_j = \sum_{i_1 = 0}^1 \sum_{i_2 = 0}^1 e_{i_1 i_2 j}$.
Наши уравнения запишутся как $\forall x y \in \mathbb{R}^2\colon E(S_k x, S_k y) = S_k E(x, y)$ (здесь под $S_k$ понимается матрица $(S_{kij})$).

[kotenok gav]

Xaositect в сообщении #1529211 писал(а):

Рассмотрим билинейное отображение $E \colon \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ такое, что $E(x, y) = z$ при $z_j = \sum_{i_1 = 0}^1 \sum_{i_2 = 0}^1 e_{i_1 i_2 j}$.
Наши уравнения запишутся как $\forall x y \in \mathbb{R}^2\colon E(S_k x, S_k y) = S_k E(x, y)$ (здесь под $S_k$ понимается матрица $(S_{kij})$).

Так я так эти уравнения и получил

-- 22 авг 2021, 02:53 --

Xaositect в сообщении #1529211 писал(а):

Нетривиальные решения есть, например, $S_{kij} = \delta_{ij}$ и $e$ любое. Или можно взять $e_{ijk}$ равным $1$ при $i = j = k$ и $0$ иначе и $S_{kij}$ равным $0$ если $i + j + k$ четное и $1$ иначе.

Я решал обе половины системы Mathematica'ой, и, видимо, там обнуляются где-нибудь знаменатели в обратной матрице. Посмотрю...

[Xaositect]

Найти все решения можно, если знать, что для билинейных отображения на двумерном пространстве есть канонические формы
$E(x, y) = a(x) b(y) w$,
$E(x, y) = a(x) \cdot By$
$E(x, y) = Ax \cdot b(y)$
$E(x, y) = M(x, y) w$
$E(x, y) = a(x) b(y) w_1 + M(x, y) w_2$
$E(x, y) = a_1(x) b_1(y) w_1 + a_2(x) b_2(y) w_2$
Здесь $a, b$ --- линейные формы, $w$ --- векторы, $A, B$ --- обратимые линейные операторы, $M$ --- невырожденная билинейная форма.

[lel0lel]

Поскольку правые части нулевые, то исследовать нужно определители систем на предмет равенства нулям одновременно, то есть условия существования нетривиальных решений. Можно составить восемь различных определителей и решать получившуюся систему на $S$. Или ввести параметр $\varepsilon\to 0$ (чтобы уравнения были неоднородными), решить две системы и приравнивать их решения, затем, решив полученную систему, в найденном решении устремлять эпсилон к нулю и смотреть какие могут быть значения $S$.

[kotenok gav]

Xaositect, lel0lel, спасибо!

[kotenok gav]

lel0lel в сообщении #1529214 писал(а):

Поскольку правые части нулевые, то исследовать нужно определители систем на предмет равенства нулям одновременно, то есть условия существования нетривиальных решений. Можно составить восемь различных определителей и решать получившуюся систему на $S$.

Выяснилось, что шестое, восьмое, десятое, четырнадцатое и шестнадцатое уравнения всегда выражаются через остальные - т.е. осталось лишь четыре уравнения на определители. У этих уравнений есть общий множитель $\left(S_{0,0,1} S_{0,1,0}-S_{0,0,0}\left(S_{0,1,1}-1\right)+S_{0,1,1}-1\right) \left(S_{0,0,1}S_{0,1,0}-S_{0,0,0} S_{0,1,1}\right)$. Вот уравнения после деления на него:
$\begin{cases} -S_{0,0,0}^3+S_{0,1,1}^2 S_{0,0,0}^2+\left(S_{0,1,1}-S_{0,0,1} S_{0,1,0} \left(2 S_{0,1,1}+3\right)\right) S_{0,0,0}-S_{0,1,1}^3+S_{0,0,1}^2 S_{0,1,0}^2-\\\;\;-S_{0,0,1} S_{0,1,0} \left(3 S_{0,1,1}+1\right)=0\\ S_{0,0,1} S_{1,1,0}^2 S_{0,0,0}^4+\left(S_{1,0,1} S_{0,1,0}^2-2 S_{0,0,1} S_{1,0,0} S_{1,1,0} S_{0,1,0}-S_{0,0,1} S_{1,1,0}^2\right) S_{0,0,0}^3+\left(\left(S_{0,0,1} \left(S_{1,0,0}-1\right) S_{1,0,0}-\left(S_{0,1,1}^2-1\right) S_{1,0,1}\right) S_{0,1,0}^2-2 S_{0,0,1} S_{0,1,1} S_{1,0,0} S_{1,1,0} S_{0,1,0}+S_{0,0,1} \left(2 S_{0,0,1} S_{0,1,0}-S_{0,1,1}\right) S_{1,1,0}^2\right) S_{0,0,0}^2+\left(\left(S_{0,0,1} \left(\left(2 S_{0,1,1}+1\right) \left(S_{1,0,0}-1\right) S_{1,0,0}+2 S_{0,1,0} \left(S_{0,1,1}+1\right) S_{1,0,1}\right)-S_{0,1,1}^2 S_{1,0,1}\right) S_{0,1,0}^2+2 S_{0,0,1} \left(S_{0,1,1}-S_{0,0,1} S_{0,1,0}\right) S_{1,0,0} S_{1,1,0} S_{0,1,0}+S_{0,0,1} \left(S_{0,1,1}-2 S_{0,0,1} S_{0,1,0}\right) S_{1,1,0}^2\right) S_{0,0,0}+S_{0,0,1} S_{0,1,0} \left(S_{0,0,1} \left(S_{0,0,1} S_{0,1,0}-2 S_{0,1,1}-1\right) S_{1,1,0}^2+2 S_{0,1,1} \left(S_{0,1,1}-S_{0,0,1} S_{0,1,0}\right) S_{1,0,0} S_{1,1,0}+S_{0,1,0} \left(S_{0,1,1} \left(S_{0,1,1}+1\right) \left(S_{1,0,0}-1\right) S_{1,0,0}+S_{0,1,0} \left(-S_{0,0,1} S_{0,1,0}+2 S_{0,1,1}+1\right) S_{1,0,1}\right)\right)=0\\ S_{0,0,1} \left(-\left(\left(S_{0,1,1}-1\right) S_{1,0,1} S_{0,0,0}^3\right)+\left(\left(S_{0,1,1}-1\right) S_{1,0,1} S_{0,1,1}^2+S_{0,0,1} \left(S_{1,0,0} \left(S_{1,1,1}-1\right)+S_{1,1,0} \left(S_{1,0,1}+S_{0,0,1} S_{1,1,1}\right)\right)\right) S_{0,0,0}^2+\left(\left(S_{0,1,0} \left(-S_{1,0,1} S_{1,1,0}-S_{1,0,0} \left(S_{1,1,1}-1\right)\right)+\left(2 S_{0,1,1}+1\right) S_{1,1,0} S_{1,1,1}\right) S_{0,0,1}^2+\left(-\left(\left(S_{1,0,1} \left(2 S_{0,1,0}+S_{1,1,0}\right)+S_{1,0,0} \left(S_{1,1,1}-1\right)\right) S_{0,1,1}^2\right)+\left(S_{1,0,1} \left(S_{1,1,0}-S_{0,1,0}\right)+S_{1,0,0} \left(S_{1,1,1}-1\right)\right) S_{0,1,1}+S_{0,1,0} \left(1-2 S_{1,0,0}\right) S_{1,0,1}\right) S_{0,0,1}-\left(S_{0,1,1}-1\right) S_{0,1,1} S_{1,0,0} S_{1,0,1}\right) S_{0,0,0}+\left(S_{0,1,1}-1\right) S_{0,1,1}^3 S_{1,0,0} S_{1,0,1}-S_{0,0,1} \left(\left(S_{1,0,1} S_{1,1,0}+S_{1,0,0} \left(S_{1,1,1}-1\right)\right) S_{0,1,1}^3+S_{0,1,0} \left(1-2 S_{1,0,0}\right) S_{1,0,1} S_{0,1,1}^2+2 S_{0,1,0} S_{1,0,0} S_{1,0,1} S_{0,1,1}+S_{0,1,0} S_{1,0,0} S_{1,0,1}\right)+S_{0,0,1}^2 \left(\left(S_{0,1,1}+S_{1,0,0}\right) S_{1,0,1} S_{0,1,0}^2-S_{0,1,1} \left(S_{1,0,1} S_{1,1,0}+S_{1,0,0} \left(S_{1,1,1}-1\right)\right) S_{0,1,0}+S_{0,1,1} \left(S_{0,1,1}+1\right) S_{1,1,0} S_{1,1,1}\right)\right)=0\\ S_{0,1,0} \left(S_{1,1,0} S_{1,1,1} S_{0,0,0}^4+\left(\left(S_{0,1,1}^2-S_{0,1,0} S_{1,0,1}\right) S_{1,1,0}-\left(S_{0,1,0} \left(S_{1,0,0}-1\right)+S_{1,1,0}\right) S_{1,1,1}\right) S_{0,0,0}^3+\left(S_{1,0,0} S_{1,0,1} S_{0,1,0}^2+\left(S_{0,0,1} S_{1,1,0} \left(-2 S_{0,1,1}+2 S_{1,1,1}-1\right)+S_{0,1,1} \left(-S_{1,0,1} S_{1,1,0}-\left(S_{1,0,0}-1\right) S_{1,1,1}\right)\right) S_{0,1,0}-S_{0,1,1} S_{1,1,0} \left(S_{0,1,1}+S_{1,1,1}\right)\right) S_{0,0,0}^2+\left(\left(S_{0,0,1} \left(\left(S_{0,0,1}-S_{1,0,1}\right) S_{1,1,0}+S_{1,1,1}\right)+S_{1,0,0} \left(\left(2 S_{0,1,1}+1\right) S_{1,0,1}-S_{0,0,1} S_{1,1,1}\right)\right) S_{0,1,0}^2+\left(S_{0,1,1} \left(S_{1,0,1} S_{1,1,0}+\left(S_{1,0,0}-1\right) S_{1,1,1}\right)-S_{0,0,1} S_{1,1,0} \left(S_{0,1,1}+2 S_{1,1,1}\right)\right) S_{0,1,0}+S_{0,1,1} S_{1,1,0} \left(S_{1,1,1}-S_{0,1,1}^2\right)\right) S_{0,0,0}+S_{0,1,1} \left(\left(S_{0,1,1}+1\right) S_{1,0,0} S_{1,0,1} S_{0,1,0}^2+\left(S_{0,1,1}^2+S_{0,1,0} \left(S_{0,0,1}+\left(S_{0,1,1}-S_{0,0,1} S_{0,1,0}\right) S_{1,0,1}\right)\right) S_{1,1,0}\right)+S_{0,1,0} \left(S_{0,0,1} \left(S_{0,0,1} S_{0,1,0}-2 S_{0,1,1}-1\right) S_{1,1,0}-\left(S_{0,0,1} S_{0,1,0}-S_{0,1,1}\right) S_{0,1,1} \left(S_{1,0,0}-1\right)\right) S_{1,1,1}\right)=0\end{cases}$
Последние три уравнения отображаются не полностью - они очень длинные. Можно ли их хоть как-нибудь решить (хотя бы найти количество решений)?

[Geen]

kotenok gav в сообщении #1529263 писал(а):

Выяснилось

А зачем Вы $k$ вообще ввели?

[kotenok gav]

Geen в сообщении #1529264 писал(а):

А зачем Вы $k$ вообще ввели?

Которую именно? Первый индекс в $S$? Потому что у меня две матрицы, а не одна.