Решение уравнения Пуассона

[reterty]

Иммется уравнение Пуассона вида: $\Delta f(x, y, z)=-xyz/(x^2+y^2+z^2)^4$. Maple отказывается его решать (причем, с разными хинтами). Знаю, что такое уравнение можно пытаться решить методом функций Грина, но слабо разбираюсь в его особенностях. Прошу помощи в решении.

[Eule_A]

К дифференциальным уравнениям обычно прилагаются дополнительные условия - здесь краевые. А если в частных производных уравнение, то ещё и область, в которой оно решается.

[reterty]

Eule_A в сообщении #1528727 писал(а):

К дифференциальным уравнениям обычно прилагаются дополнительные условия - здесь краевые. А если в частных производных уравнение, то ещё и область, в которой оно решается.

Функция $f(x, y, z)$ определена во всем пространстве, кроме начала координат и обращается в нуль на бесконечности. С физической точки зрения эта функция является электрическим потенциалом.

[Red_Herring]

Хинт: Правая часть $= \partial^3_{xyz} c (x^2+y^2+z^2)^\alpha=: g(r)$. Найдите коэффицент $c$ и показатель $\alpha$. Затем найдите решение $v(r)= C r^\beta$ уравнения $\Delta v = g(r)$ и потом $u$.

Общий совет: ищите симметрии!

[reterty]

Red_Herring в сообщении #1528730 писал(а):

Хинт: Правая часть $= \partial^3_{xyz} c (x^2+y^2+z^2)^\alpha=: g(r)$. Найдите коэффицент $c$ и показатель $\alpha$. Затем найдите решение $v(r)= C r^\beta$ уравнения $\Delta v = g(r)$ и потом $u$.

Общий совет: ищите симметрии!

Великолепный хинт! Спасибо Вам, уважаемый Red_Herring. Результат: $f(x, y, z)=xyz/(6 r^6)$. Кстати, формальный подход через использование интегрального представления для решения уравнения Пуассона тут не срабатывает. Интеграл просто не берется аналитически...