вопрос о принадлежности функции к классу

[volchenok]

Здравствуйте. Возник следующий вопрос, справедливо ли следующее утверждение:

$e^{-\beta\cdot t}h(t)\in L_1([0,\infty);\mathbb{R})$
где $\beta \in \mathbb{R}$, $h(t)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{n=0}^{k}(-1)^n\binom{k}{n}\sum\limits_{m=1}^{N}d_n(m)h(t-\ln(m))L_n(t-\ln(m))$

где $d_n(m)=\sum\limits_{k_1k_2...k_n=m}1$, то есть $d_n(m)$- число способов разбиения числа $m$ на множители, без учета порядка множителей $k_i$ если не изменяет мне память то функцией Пилца это называется $h$ - функция Хевисайда, $L_n$- полином Лаггера.

Мое мнение, это то что это утверждение верно, так как она непрерывна за исключением конечного числа точек. Но я сомневаюсь, что я прав. Помогите пожалуйста.

[Lia]

Логарифмы и прочие синусы пишутся так: \ln x
Иначе никто не узнает ) Исправьте, пожалуйста. И приведите попытки решения.

Если вот эта дивная матрица - биномиальный коэффициент, то для них водится специальная команда.

[volchenok]

Все исправил, то что в скобках это биномиальный коэффициент. В качестве попытки решения привожу такие рассуждения. Функциями t являются только функция Хевисайда и полиномы Лаггера, которые непрерывны за исключением конечного числа точек. А раз так, значит и их произведение не прерывно и вся сумма. Отсюда следует что эта функция интегрируема, то есть утверждение верно.

[Lia]

Вариант с \binom{}{}, на мой взгляд, симпатичнее. Это как хотите, а вот одиночные символы надо бы оформлять как формулы, то есть заключать в доллары.

volchenok в сообщении #1525728 писал(а):

где $d_n(m)=\sum\limits_{k_1k_2...k_n=m}1$

А вот это я не понимаю. Кто такие $k_i$?

-- 11.07.2021, 03:42 --

volchenok в сообщении #1525730 писал(а):

А раз так, значит и их произведение не прерывно и вся сумма. Отсюда следует что эта функция интегрируема, то есть утверждение верно.

У Вас же не отрезок, а полупрямая. Интеграл несобственный. Нужна абсолютная сходимость.

-- 11.07.2021, 04:20 --

Ладно, автор то ли уснул, то ли задумался, стало быть, пока в Карантин.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- уточните постановку задачи,
- приведите собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[volchenok]

Раз уже выяснили, что непрерывность тут не панацея, вот возникла у меня следующая мысль. Анализируемая функция по сути дела является произведением полинома и экспоненты с отрицательным показателем, то есть она получается ограниченной. Таким образом исходный интеграл,можно ограничить, а значит требуемое утверждение верно. Прав ли я?