Тождество о декартовых произведениях множеств.

[garvett]

Приветствую, Господа! Читаю учебник Зорича по матану, и очень уж меня напрягают здешние задачи. Такое ощущение, что автор даёт тебе отвёртку, чтобы ты построил Нотр-Дам. Ладно, я не поэтому пишу. Том 1, Глава 1, Параграф 2, Задача 6 б): Доказать, что

$$ (A \times B \subset X \times Y) \Leftrightarrow (A \subset X) \wedge (B \subset Y)$$

при

$$X \times Y \neq \emptyset $$

. Над этой задачей я сижу уже почти день по той причине, что если переписать первое логическое выражение как

$$ ((a,b) \in A \times B) \Rightarrow ((a,b) \in X \times Y) $$

, а потом как

$$ ((a \in A) \wedge (b \in B)) \Rightarrow ((a \in X) \wedge (b \in Y)) $$

, то я вообще не понимаю как от этого перейти к доказываемому

$$ ((a \in A) \Rightarrow (a \in X)) \wedge ((b \in B) \Rightarrow (b \in Y)) $$

. Пытался от противного доказывать, но тот же ступор. Помогите, пожалуйста, я больше не хочу страдать(

[eugensk]

Учтите, что в условии опечатка, должно быть:

при $A \times B \neq \emptyset $.

Если множество непустое, в нём найдется хотя бы один элемент, вот и используйте это.

[Padawan]

(Оффтоп)

eugensk в сообщении #1525055 писал(а):

опечатка

Это не опечатка, а ошибка.

[iifat]

eugensk в сообщении #1525055 писал(а):

при $A \times B \neq \emptyset $

Вот тут не понял как-то. Если $A \times B = \emptyset $, значит, $A = \emptyset $ и $B = \emptyset $, значит, следствие вполне себе выполняется. В чём ошибка?
Вообще, по сути-то всё просто должно быть. Коли $ (A \wedge B) \Rightarrow (X \wedge Y)$, то уж $ (A \wedge B) \Rightarrow X$, остаётся только убрать $B$...

[Mikhail_K]

iifat в сообщении #1525353 писал(а):

Вот тут не понял как-то. Если $A \times B = \emptyset $, значит, $A = \emptyset $ и $B = \emptyset $, значит, следствие вполне себе выполняется. В чём ошибка?

Например, если $A=\varnothing$, а $B\not\subset Y$, то утверждение слева справедливо, а справа нет.

iifat в сообщении #1525353 писал(а):

Если $A \times B = \emptyset $, значит, $A = \emptyset $ и $B = \emptyset $

Нет, $A \times B = \varnothing $ значит, что $A = \varnothing$ или $B = \varnothing$.

[Qlin]

Перейти от вашего второго условия к первому на самом деле легко. В логике есть такой закон $((\varphi \rightarrow \chi_1) \land (\psi \rightarrow \chi_2)) \longrightarrow ((\varphi \land \psi)\rightarrow (\chi_1 \land \chi_2)) $ Он легко проверяется перебором по таблице истинности. Использовав его, вы докажете теорему в одну сторону.

От первого условия (оно у вас неполное) ко второму перейти таким способом не получится. Как верно замечает eugensk, вам необходимо использовать требование непустоты. В формуле $A \times B \neq \emptyset \land (A \times B \subset X \times Y)$ раскройте все определения и замените их кванторными формулами. Дальше можно (но не обязательно) действовать от противного.

-- 06.07.2021, 15:08 --

garvett в сообщении #1525037 писал(а):

Пытался от противного доказывать

Каким образом ?