Верно ли учтён дополнительный бросок?

[tonven]

мат-ламер в сообщении #1522498 писал(а):

С одной стороны:
Вероятность того, что у игрока А больше орлов, чем у игрока В равна вероятности того, у что игрока А больше решек, чем у игрока В. Это следует из симметричности монеты.

С другой стороны:
У игрока А больше орлов, чем у игрока В тогда и только тогда, когда у игрока А решек меньше или равно, чем у игрока В.

Второй тезис применим к ситуации после n бросков:
У игрока А больше орлов, чем у игрока В тогда и только тогда, когда у игрока А решек меньше или равно, чем у игрока В,
У игрока А больше решек, чем у игрока В тогда и только тогда, когда у игрока А орлов меньше или равно, чем у игрока В.

Цитата:

Но нас интересуют только победы "орлом": а это и есть $\frac{1}{2}$

.

[мат-ламер]

tonven
Чего-то я сегодня туплю. Вашу мысль я не понял. Я в свой предыдущий пост немного добавил (может вы это не заметили). Ответ в этой задаче действительно равен $1/2$ . Но сразу до этого додуматься сложно (по крайней мере мне). Поэтому я предложил решить задачу сначала для маленьких $n$, нащупать закономерность. А уж потом искать общее решение. Общее решение можно искать и тупым подсчётом через биномиальные коэффициенты, которые в конце должны сократиться.

[xagiwo]

мат-ламер
Вроде у ТС уже было понятное решение, Вы его не пропустили? Единственная неточность в том, что не указано, что A не может победить орлом и решкой одновременно, но, я думаю, оно подразумевалось.

tonven в сообщении #1522497 писал(а):

У A в конце больше сумма $(O+P)=n+1$. Значит, у него больше или "орлов", или "решек". Распределение по ним запутанное, но симметричное. Значит, побед "орлом" будет столько же, сколько и побед "решкой" - если перебрать все возможные варианты. Но нас интересуют только победы "орлом": а это и есть $\frac{1}{2}$.

[tonven]

xagiwo
мат-ламер
Попробовала смоделировать задачу на Паскале. Не знаю, поймёт ли кто, писала для себя:

begin
  var(s1, s0) := (0, 0); //Число побед
  loop 10000 do
  begin
    var (n1, n0) := (0, 0); //Число орлов в опыте
    loop 100 do
    begin
      var (n, o1, o0) := (100, 0, 0); //Число бросков, орлов1, орлов0
      for var i := 0 to n - 1 do
      begin
        if random(2) > 0 then //Бросание монеты игроком A
          inc(o1);
        if random(2) > 0 then //Бросание монеты игроком B
          inc(o0);
      end;
      if random(2) > 0 then //Доп. бросок A
       inc(o1);
      if o1 > o0 then
       inc(n1)
      else
        inc(n0);
    end;
    if n1 > n0 then
      inc(s1)
    else
      if n1 < n0 then
      inc(s0);
  end;
  print(s1, '=', s0, s1/s0);
end.

Разница между s1 и s0 - числом побед А и не-побед А, действительно, очень маленькая.

[мат-ламер]

xagiwo в сообщении #1522524 писал(а):

Вроде у ТС уже было понятное решение, Вы его не пропустили? Единственная неточность в том, что не указано, что A не может победить орлом и решкой одновременно, но, я думаю, оно подразумевалось.

Я вообще не понял, что значит победить орлом или победить решкой.
А! Дошло!

[xagiwo]

мат-ламер

Это значит, что орлов (решек) у A больше, чем орлов (решек) у B
Ой, до мат-ламер уже самого дошло!

[мат-ламер]

xagiwo в сообщении #1522528 писал(а):

Это значит, что орлов (решек) у A больше, чем орлов (решек) у B

Спасибо. До меня уже самого дошло.

[tonven]

мат-ламер в сообщении #1522527 писал(а):

что значит победить орлом или победить решкой.

После n бросков у А будет равное число случаев, когда у него больше орлов или больше решек. - Мы тупо или суммируя биноминальные коэффициенты каким-либо образом перебрали все варианты. Если орлов на тот момент больше у В, то победы А доп.броском не достигнет. Но ровно столько же случаев, когда орлов больше у А. Есть и третий вариант: орлов у сторон поровну. Доп.бросок во втором и третьем случаях приносит победу А с $p=\frac{1}{2}$.

[svv]

(tonven)

Спасибо за код. А что за Паскаль? Вижу пару классных штучек, которые не понимает ни вечно живой Delphi 7, ни онлайн-компилятор JDoodle.

[tonven]

svv в сообщении #1522538 писал(а):

А что за Паскаль?

(Оффтоп)

А нам в ВУЗе вручили. Башкиро-Германская разработка. В натуре бесплатно и постоянно развивается: http://pascalabc.net/ssyilki-dlya-skachivaniya

[Shadow]

Обозначим вероятность того, что после $n$ бросков у А столько же орлов, сколко и у Б через $\varphi$

Работайте с этим $\varphi$, пока не вычисляя его.

[tonven]

Shadow
если $\varphi>n$, то А побеждает. При $\varphi=n$ выигрыш А в $\frac{1}{2}$, при $\varphi<n$ победа В.

[Shadow]

tonven
Не надо сравнивать $\varphi$ с $n$. Первое - вероятность, оно меньше 1. Выпишите при каких условиях побеждает А, если уже игроки бросили монету по $n$ раз

[xagiwo]

Shadow в сообщении #1522551 писал(а):

после $n$ бросков у А столько же орлов, сколко и у Б через $\varphi$

Shadow, Вам не кажется, что если вглядываться не слишком внимательно, можно прочитать что-то не то?

[Shadow]

xagiwoПросто надо читать изречения с самого начала, а не с середины.