Найти сумму ряда

[Ёж]

Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}$.

Область сходимости данного ряда [-1,1).
При $x\ne 0$, получаем $S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=\frac{1}{x}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=\frac{1}{x}S_1(x), $ где $S_1(x)= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$.
Имеем $S'_1(x)= \sum\limits_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac{1}{1-x}$ при $|x|<1$.
Отсюда $S_1(x)= \int\limits_{0}^{x}\frac{dx}{1-x}=-\ln(1-x)$ при $|x|<1$.
Таким образом, $S(x)=\frac{1}{x}S_1(x)= -\frac{\ln(1-x)}{x}$ при $x\ne 0$, $|x|<1$.
Вычислим сумму ряда в точках $x=0$, $x=-1$ .
$S(0)=1$
$S(-1)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}.$
Подскажите, пожалуйста, как найти сумму последнего ряда?

[alisa-lebovski]

А чем Вас не устраивает подставить $x=-1$ в полученную формулу $S(x)$?

[Ёж]

alisa-lebovski в сообщении #1521527 писал(а):

А чем Вас не устраивает подставить $x=-1$ в полученную формулу $S(x)$?

У меня сомнения возникли как раз в этом. Законно ли это? Если да, то почему так можно делать?
Сумму $S'_1(x)$ нашли только при $|x|<1$. Потом почленно интегрировав $S_1(x)$ (тоже при $|x|<1$).
На концах интервала сумму же не находили?

[nnosipov]

Ёж в сообщении #1521524 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как найти сумму последнего ряда?

По-разному можно. Но в данном случае, видимо, имеется в виду как-то обосновать подстановку граничного значения $x=-1$ в формулу для суммы соответствующего степенного ряда.

-- Пн июн 07, 2021 14:21:42 --

Ёж в сообщении #1521529 писал(а):

Если да, то почему так можно делать?

Есть теорема на этот счет, поищите.

[artempalkin]

Ёж в сообщении #1521529 писал(а):

У меня сомнения возникли как раз в этом. Законно ли это? Если да, то почему так можно делать?
Сумму $S'_1(x)$ нашли только при $|x|<1$. Потом почленно интегрировав $S_1(x)$ (тоже при $|x|<1$).
На концах интервала сумму же не находили?

Надеюсь, не будет слишком большой подсказкой рекомендовать обратиться ко "второй теореме Абеля" :)

[Ёж]

Вторая теорема Абеля. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ с радиусом сходимости $R>0$ сходится при $x=R$, то он сходится равномерно на $[0,R]$ и его сумма является непрерывной слева в точке $x=R$ функцией.

Если ряд сходиться при $x=-R$ делаем замену $x=-t$?

[мат-ламер]

Заметьте, что ваш ряд сходится для $x=-1$ ( в отличие от $x=1$ ).

-- Пн июн 07, 2021 23:17:14 --

Ёж в сообщении #1521666 писал(а):

Вторая теорема Абеля. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ с радиусом сходимости $R>0$ сходится при $x=R$

Что есть $R$ из этого текста непонятно. Уточните формулировку.

[Ёж]

мат-ламер в сообщении #1521673 писал(а):

Заметьте, что ваш ряд сходится для $x=-1$ ( в отличие от $x=1$ ).

Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ с радиусом сходимости $R>0$ сходится при $x=-R$, то он сходится равномерно на $[-R,0]$ и его сумма является непрерывной справа в точке $x=-R$ функцией.

мат-ламер в сообщении #1521673 писал(а):

Что есть $R$ из этого текста непонятно. Уточните формулировку.

$R$ - действительное число больше нуля.

[мат-ламер]

Ёж в сообщении #1521678 писал(а):

$R$ - действительное число больше нуля.

Извините, мне что-то померещилось. Да. Делаем замену, как вы написали. И ваша функция по непрерывности продолжается в точку $x=-1$ .

[Someone]

Ёж в сообщении #1521666 писал(а):

Вторая теорема Абеля. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ с радиусом сходимости $R>0$ сходится при $x=R$, то он сходится равномерно на $[0,R]$ и его сумма является непрерывной слева в точке $x=R$ функцией.

Если ряд сходиться при $x=-R$ делаем замену $x=-t$?

Хм. Я обычно использую такую формулировку: если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в некоторой точке $x_1\neq 0$, то он сходится равномерно на отрезке с концами $x_1$ и $0$ (и его сумма непрерывна на этом отрезке). Упоминание радиуса сходимости в этой теореме не выглядит уместным.

[Ёж]

Спасибо большое всем!

[мат-ламер]

Ещё до кучи можно посмотреть, как в учебниках анализа доказывается, что $\ln 2 = 1 - 1/2+1/3-...$ . Обычно доказывают через ряд Тейлора.

[Lia]

Если уж до кучи, то можно было с ряда Тейлора и начинать. Область сходимости ряда для $\ln(1+x)$ известна и равна $[-1,1)$, заданный ряд есть разложение в ряд Тейлора функции $-\ln(1-x)/x$ (доопределенной в нуле по непрерывности) с областью сходимости $(-1,1]$. А то ходим какими-то кругами, то в произвольной точке посчитаем сумму, то в мало чем отличающейся от прооизвольной минус единице... пользуясь, фактически, одним и тем же результатом.

Но если нравится, то можно, конечно.