объем тела

[ShMaxG]

Помогите решить:
Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

\[ \left( {x^2 + y^2 } \right)^2 = 2xy,{\text{ }}z = x + y,{\text{ }}z = 0,{\text{ }}\left( {x > 0;y > 0} \right) \]

Я перехожу в цилиндрические координаты и там вылезают сложные интегралы. Хочется узнать, как решить проще.

[Henrylee]

А что там страшного вышло? Обычный тригонометрический интеграл - поднатужиться и решить. ПОкажите Ваш.

[ShMaxG]

При переходе к цилиндрическим координатам:

\[ \begin{gathered} \int\limits_0^{\pi /2} {d\varphi } \int\limits_0^{\sqrt {\sin 2\varphi } } {r^2 \left( {\sin \varphi + \cos \varphi } \right)dr} = \hfill \\ = \frac{1} {3}\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {\sin \varphi + \cos \varphi } \right)\sin ^{3/2} 2\varphi d\varphi } \hfill \\ \end{gathered} \]

[Henrylee]

Ну да, у меня то же самое получилось. мне кажется, проще взять этот, чем искать другой метод. Ну тот же Остроградского-Гаусса..

[ShMaxG]

но как считать этот интеграл?

[Brukvalub]

Воспользуйтесь бета-функцией:$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin ^p x\cos ^q xdx = \frac{1}{2}} B(\frac{{p + 1}}{2}\;,\;\frac{{q + 1}}{2})$

[ShMaxG]

2Brukvalub

Не проходили, нельзя.

[vvvv]

Сначала нужно представить себе, что считать.
А считать нужно вот что.


Добавлено спустя 6 минут 42 секунды:

И другой вид.

[ewert]

ShMaxG писал(а):

При переходе к цилиндрическим координатам:

\[ \begin{gathered} \int\limits_0^{\pi /2} {d\varphi } \int\limits_0^{\sqrt {\sin 2\varphi } } {r^2 \left( {\sin \varphi + \cos \varphi } \right)dr} = \hfill \\ = \frac{1} {3}\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {\sin \varphi + \cos \varphi } \right)\sin ^{3/2} 2\varphi d\varphi } \hfill \\ \end{gathered} \]

Первая скобка -- это, в принципе, $\sin(\varphi+{\pi\over4})$. Т.е. после сдвига получим $\int(2t^2-1)^{3/2}dt$...

[ShMaxG]

\[ \begin{gathered} - \int\limits_{\frac{\pi } {4}}^{\frac{{3\pi }} {4}} {\left( { - \cos 2t} \right)^{3/2} d\cos t} = \hfill \\ = 2\int\limits_0^{\frac{1} {{\sqrt 2 }}} {\left( {1 - 2y^2 } \right)^{3/2} dy} \hfill \\ p^2 = - 2 + y^{ - 2} \hfill \\ pdp = - y^{ - 3} dy \hfill \\ y^{ - 2} = p^2 + 2 \hfill \\ dy = - \frac{{pdp}} {{\left( {p^2 + 2} \right)^{3/2} }} \hfill \\ 2\int\limits_0^{\frac{1} {{\sqrt 2 }}} {\left( {1 - 2y^2 } \right)^{3/2} dy} = 2\int\limits_0^{ + \infty } {\left( {1 - 2\frac{1} {{p^2 + 2}}} \right)^{3/2} } \frac{{pdp}} {{\left( {p^2 + 2} \right)^{3/2} }} = \hfill \\ = 2\int\limits_0^{ + \infty } {\left( {\frac{{p^2 }} {{p^2 + 2}}} \right)^{3/2} } \frac{{pdp}} {{\left( {p^2 + 2} \right)^{3/2} }} = 2\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{p^4 }} {{\left( {p^2 + 2} \right)^3 }}} dp \hfill \\ \end{gathered} \]

[GAA]

Совпадаем с точностью до опущенного постоянного множителя перед интегралом.
$ \frac{2\sqrt{2}}{3}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{p^4 }}{{\left( {p^2 + 2} \right)^3 }}} dp$
Для вычисления последнего удобно внести $p$ под знак дифференциала («отщипывая» его первый раз от $p^4$, а второй раз от $p^2$) и интегрировать по-частям, полагая на первом шаге $u=p^3$, $dv=d(p^2+2)/(p^2+2)^3$, а на втором: $u=p$, $dv=d(p^2+2)/(p^2+2)^2$ (понижая, тем самым, одновременно степень числителя и знаменателя).
Добавлено
Конечно, рассматриваемый интеграл является интегралом от правильной алгебраической дроби и может быть вычислен разложением на простейшие, но это несколько более громоздко.

[ShMaxG]

Решил, с ответом сошлось. Спасибо огромное!

[ewert]

ShMaxG писал(а):

$- \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}} \left( - \cos 2t\right)^{3/2} d\cos t = 2\int\limits_0^{\frac{1}{\sqrt 2 }} \left(1 - 2y^2\right)^{3/2} dy$

а-а, я и впрямь знак под корнем зевнул.

А вообще-то интегралы последнего типа стандартно берутся заменой $2y^2=\sin^2 z$. Получается простенький интеграл от косинуса в четвёртой...

---------------------------------------------------------------
нет, Дональд Кнут -- всё же зараза. Он там себе наразвлекался со своим TeX'ом, а мы теперь мучайся. Сколько времени угробил, пока наконец не повыбивал все бессмысленные фигурные скобки, и картинка наконец не проявилась...

[ShMaxG]

Во, благодарю. Решение круто сократилось

[GAA]

Classic Worksheet Маple 10 исходный интеграл

 > 1/3*int((cos(x)+sin(x))*(sin(2*x))^(3/2), x=0..Pi/2);

считает равным $\pi/16$. Тогда как при численном вычислении

 > 1/3*evalf(Int((cos(x)+sin(x))*(sin(2*x))^(3/2), x=0..Pi/2));

со значением Digits по умолчанию (10) дает 0.3926990817 (что довольно близко к точному значению $\pi/8$). Замечу, что если мы слегка преобразуем исходный интеграл

 > 2^(3/2)/3*int((cos(x)+sin(x))*(sin(x)^(3/2)*cos(x)^(3/2)), x=0..Pi/2);

, то получим

 2/3*2^(1/2)*(
-3/16*EllipticPi(1/2+1/2*I,1/2*2^(1/2)) +
3/16*I*EllipticK(1/2*2^(1/2))+
3/16*EllipticPi(1/2-1/2*I,1/2*2^(1/2)) – 
3/16*I*EllipticF(2^(1/2),1/2*2^(1/2)) + 
3/16*EllipticPi(2^(1/2),1/2+1/2*I,1/2*2^(1/2))-
3/16*EllipticPi(2^(1/2),1/2-1/2*I,1/2*2^(1/2)))

Это приближенно равно 0.3926909602+0.*I.

Есть объяснения такому явлению?
Добавлено
В Maple 7.0 дело обстоит также.
Добавлено 31.12.08
И в Maple 12.0 дело обстоит также.