Интеграл Пуассона

[ShMaxG]

По теме "Двойные интегралы" у нас задача "вычислить уинтеграл Пуассона

\[ \int\limits_0^{ + \infty } {e^{ - x^2 } dx} \]

.

Помогите пожалуйста решить. Хотя бы с чего начать?

[GAA]

1. Доказать или посмотреть в учебнике (это канонический материал [1]) сходимость интеграла $I_2 = \int\limits_{-\infty<x, y<+\infty}{e^{-(x^2+y^2)} dxdy}$.
2. Переходя в полярную систему координат, вычислить $I_2$.
3. Показать, что квадрат исходного интеграла ($I_1$) равен $I_2$, т.е. $ I_1^2=I_2$.

[1] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы Математического анализа. Т2 — М., 1982.
Добавлено
Самое важная для студента часть упражнения — это доказательство сходимости интеграла.
Добавлен потерянный минус. Cпасибо Brukvalub за указание ошибки.

[shwedka]

Напишите еще
$ \int\limits_0^{ + \infty } {e^{ - y^2 } dy} $,
Перемножьте эти два интеграла и перейдите к полярным кординатам.

[Brukvalub]

GAA в сообщении #151572 писал(а):

1. Доказать или посмотреть в учебнике (это канонический материал) сходимость интеграла $I_2 = \int\limits_{-\infty<x, y<+\infty}{e^{x^2+y^2} dxdy}$.

А он-таки сходится!?

[ShMaxG]

Классно, спасибо.

Ну там очепятка, минус в степени, конечно.

[ewert]

GAA писал(а):

Самое важная для студента часть упражнения — это доказательство сходимости интеграла.

Дело вкуса. На мой взгляд, так наоборот -- наиболее важен сам трюк, а уж сходимость практически очевидна в силу безумно быстрого убывания подынтегральной функции.

[The Last Samurai]

извините,что поднимаю давнюю тему,но откуда взялся такой трюк? почему мы решили вычислить с помощью двойного? это же не очевидно! Методами ТФКП его можно взять?

[bot]

The Last Samurai в сообщении #517502 писал(а):

но откуда взялся такой трюк?

На этот вопрос никто не ответит - одни в секрете держат, а другие и сами не знают. А вообще вся математика состоит из таких трюков, соединённых длинными и скучными рассуждениями.