Строгое определение движения колеса

[vzdymshik_picca]

Мне требовалось найти параметрическое описание циклоиды. Для его выведения постоянно не хватало информации из различных положений окружности, которые я рассматривал. В итоге подглядел решение в книжке "Рассказы о физиках и математиках". Оно базируется на следующем соображении:

Цитата:

Нужно четко сформулировать условие, что качение круга происходит без скольжения: оно состоит в том, что длина отрезка между точками касания производящего круга с направляющей прямой в моменты времени $0$ и $t$ равна длине дуги, «прокатившейся» по этому отрезку. Вероятно, именно это и имел в виду Паскаль, когда писал, что колесо «катится своим движением».

По-другому это же соображение можно сформулировать так:

Цитата:

При движении без скольжения колесо радиуса $r$ совершает полный оборот тогда и только тогда, когда центр смещается на $2\pi r$.

Мой вопрос (и трудность, из-за которой я не догадался до формулы сам) заключается в том является ли это определением движения круга без скольжения (то есть постулируем, исходя из эмпирически очевидных наблюдений) или вышесформулированное утверждение можно как-то строго доказать?

-- 22.04.2021, 07:43 --

Если намотать нитку на колесо, то, очевидно, она размотается, когда оно сделает оборот. То есть качение индуцирует непрерывную биекцию окружности (без точки) на соответствующий интервал. Утверждение из второй цитаты говорит о том, что этот интервал будет иметь ту же меру, что и окружность. Видимо, только в таком виде мы избавляемся от физических соображений и можем строго что-то показать (указать эту биекцию в любом виде, затем доказать, что она сохраняет меру, и только уже тогда можно вывести её параметрическое описание, которое опирается на этот факт).

Можно ли эту мысль как-то более тривиально сформулировать?

[vzdymshik_picca]

То есть, вероятно, переводя понятие качения на математический язык, не стоит сводить всё к биекции, а есть более удобный формализм, в рамках которого всё сказанное очевидно?

[sergey zhukov]

vzdymshik_picca
По моему, нужно просто взять колесо, для которого поступательное и угловое перемещение линейно связаны. Это дает всевозможные циклоиды, в т.ч. удлиненные и укороченные. А наша циклоида та, у которой коэффициент пропорциональности равен радиусу, т.е. точка, которая чертит циклоиду, выбрана на окружности колеса.

[DimaM]

vzdymshik_picca в сообщении #1515241 писал(а):

Мне требовалось найти параметрическое описание циклоиды. Для его выведения постоянно не хватало информации из различных положений окружности, которые я рассматривал.

Гм, параметрическое описание конструируется просто.
Движение точки при вращении колеса (стартуем снизу, вращение по часовой стрелке, начало координат на оси):

$$x=-R\sin\omega t,\; y=-R\cos\omega t.$$

Теперь добавляем поступательное движение вправо с постоянной скоростью $V$:

$$x=Vt-R\sin\omega t,\; y=-R\cos\omega t.$$

Обычная циклоида получается при $V=\omega R$, при $V<\omega R$ будет удлиненная, при $V>\omega R$ - укороченная.

[Sinoid]

DimaM в сообщении #1515250 писал(а):

Гм, параметрическое описание конструируется просто.

Я тоже не встретил каких-либо непреодолимых трудностей, когда ради интереса выводил утверждения про замечательные кривые, приведенные в соответствующем разделе справочника по вышке Выгодского.

[vzdymshik_picca]

С соответствующей оговоркой я формулу и сам получил, это несложно, вопрос был о другом.

DimaM в сообщении #1515250 писал(а):

Теперь добавляем поступательное движение вправо с постоянной скоростью $V$

Поступательное движение обеспечивают силы трения. В зависимости от того, чему они равны, можем получить разные циклоиды, как вы и указали.

Получается, что когда мы говорим:

DimaM в сообщении #1515250 писал(а):

Обычная циклоида получается при $V=\omega R$

Мы и даём определение, что такое обычная циклоида, а равно и что такое движение окружности без скольжения? Вот в этом был мой вопрос. И если это так, то, определив циклоиду через движение без скольжения, получим порочный круг.

[Sender]

vzdymshik_picca в сообщении #1515241 писал(а):

Цитата:

При движении без скольжения колесо радиуса $r$ совершает полный оборот тогда и только тогда, когда центр смещается на $2\pi r$.

Мой вопрос (и трудность, из-за которой я не догадался до формулы сам) заключается в том является ли это определением движения круга без скольжения

Нет, в такой формулировке не годится. Представим себе, что колесо может как угодно крутиться туда-сюда, а через полный оборот придёт в такое же положение, что и колесо, катящееся без скольжения.
Вот это определение лучше, если считать, что условие выполнено для любого $t$:

Цитата:

длина отрезка между точками касания производящего круга с направляющей прямой в моменты времени $0$ и $t$ равна длине дуги, «прокатившейся» по этому отрезку.

[EUgeneUS]

vzdymshik_picca
Меня гложут смутные сомнения, что вы уходите в никому (в первую очередь Вам) не нужные умствования.

1. Математические определения циклоиды (растянутой, сжатой, "обычной") можно дать вообще без привлечения проскальзывания.
Берем параметрическое задание циклоиды и говорим:
А) если всюду гладкая и без самопересечений - это растянутая циклоида.
Б) если всюду гладкая, но с самопересечениями - это сжатая циклоида.
В) если без самопересечений, но с особыми точками - "обычная" циклоида.

2. Само понятие проскальзывания или отсутствие проскальзывания подразумевает две поверхности, имеющие как минимум одну точку контакта.
А) есть проскальзывание: соприкасающиеся точки движутся отностительно друг друга.
Б) нет проскальзывания - не движутся.

Где тут можно сломать голову - загадка природы есть.

[vzdymshik_picca]

Sender в сообщении #1515289 писал(а):

Вот это определение лучше, если считать, что условие выполнено для любого $t$

Собственно, здесь играет роль, что это именно определение (базирующееся на некоторых эмпирических соображениях). Если пытаться "в холостую" вывести формулу, то нужно заранее рассматривать произвольный поступательный вектор (получив "обычную" циклоиду с точностью до сжатия), а потом подобрать тот, который удовлетворяет определению. Пока не сказано, какой из них выбрать (а мотивировки у этого уже строго нематематические), задачу решить нельзя (только если сразу в общем виде, имея 2 коэффициента, чего я изначально не пытался сделать, так как цель была параметризировать только по $t$).

-- 22.04.2021, 20:34 --

EUgeneUS в сообщении #1515290 писал(а):

Берем параметрическое задание циклоиды и говорим

Вот это и значит, что вы заведомо её определили, не говоря о движении.

[EUgeneUS]

vzdymshik_picca в сообщении #1515291 писал(а):

(только если сразу в общем виде, имея 2 коэффициента, чего я изначально не пытался сделать, так как цель была параметризировать только по $t$).

Параметрическое задание циклоиды требует:
1. Одного параметра, изменение которого связано с движением вдоль кривой ($t$)
Такой параметр может быть один и только один, так как задаём одномерную кривую.
2. Кучи параметров - констант, которые задают положение кривой в пространстве, её размах, и другие свойства (при которых кривая еще может называться циклоидой)

-- 22.04.2021, 20:41 --

vzdymshik_picca в сообщении #1515291 писал(а):

Вот это и значит, что вы заведомо её определили, не говоря о движении

Ну и прекрасно.
А потом отдельно доказывается, что точка колеса движется по циклоиде. А если это точка обода, а колесо движется без проскальзывания, то по "обычной" циклоиде.

-- 22.04.2021, 20:46 --

vzdymshik_picca
Более того.
Если есть колесо, которое катится по плоскости без проскальзывания, то совсем не факт, что есть хоть одна точка колеса, которая движется по циклоиде.

[vzdymshik_picca]

EUgeneUS в сообщении #1515293 писал(а):

А потом отдельно доказывается, что точка колеса движется по циклоиде. А если это точка обода, а колесо движется без проскальзывания, то по "обычной" циклоиде.

Хорошо. Тогда тогда, если вам несложно, приведите это доказательство, использующее понятие движения без проскальзывания, которое не будет ссылаться на циклоиду и её свойства.

EUgeneUS в сообщении #1515293 писал(а):

Если есть колесо, которое катится по плоскости без проскальзывания, то совсем не факт, что есть хоть одна точка колеса, которая движется по циклоиде.

Ну да, есть ещё буксование, а также возможность покатиться обратно. Или вы что-то другое имели в виду?

[EUgeneUS]

vzdymshik_picca в сообщении #1515294 писал(а):

Ну да, есть ещё буксование,

При буксовании, то есть при наличии проскальзывания, может найтись такая точка колеса, которая движется по циклоиде, даже по "обычной" циклоиде.

vzdymshik_picca в сообщении #1515294 писал(а):

то как вы это сделаете?

А где собственные попытки решения?

[vzdymshik_picca]

EUgeneUS в сообщении #1515298 писал(а):

А где собственные попытки решения?

Я и так вывел формулу, а оставшиеся вопросы чисто терминологические. То есть что мы считаем движением без скольжения. Гиндикин, например, выводит формулу обычной циклоиды, опираясь на ещё недоказанное её свойство. Это свойство можно предугадать, исходя из физических соображений, и мы как бы закладываем его в определение, то есть говорим, что среди всех прочих рассматриваем именно такую кривую. Либо это свойство имманентно движению без скольжения, либо должны быть другие нефизические соображения, исходя из которых мы его получим. Я таковых не нашёл.

-- 22.04.2021, 21:33 --

Общий способ из поста DimaM таким образом не даёт ответ, почему именно $V=\omega R$ даёт траекторию движения без скольжения (оно в этом случае просто не определено). Вот я и спросил, как тогда вы его определите, чтобы свести к этому факту отдельным образом.

[arseniiv]

Выписываем, что значит для круга двигаться по плоскости касаясь прямой, определяем движение без проскальзывания и выводим оттуда $v = \omega R$. Если считать прямую неподвижной, это будет ограничение свойств непрерывного семейства изометрических отображений $f(t)$ какой-то плоскости с нарисованным на ней кругом на плоскость, на которой нарисована прямая. Можно замечательно формализовать всё, но вообще формула довольно интуитивная без привлечения всего такого.

[sergey zhukov]

vzdymshik_picca
Качение без проскальзывания - это когда мгновенная ось вращения колеса всегда есть точка контакта колеса и поверхности.