Школьная задача, 9класс, инцентр и ортоцентр.

[integ]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, понять.

В некотором треугольнике $\Delta MNK$ инцентр $I$, ортоцентр $H$. Углы данного треугольника $\angle MNK=60^\circ$, $\angle MKN=50^\circ$, $\angle KMN =70^\circ$. Найдите $\angle NHI$.



Понятно, что точка инцентр будет совпадать с точкой пересечения биссектрис. Понятно, что $\angle CNA = 40^\circ$, также ясно, что $\angle HNI = 10^\circ$. Легко найти $\angle AIC = 180 - 35 -30 = 115^\circ$. Но дальше идей нет. Интуиция подсказывает, что просто так через углы здесь раскрутить не получится, нужно подключать теорему синусов, косинусов. Только пока они ничего толкового не дали.

[DeBill]

А давайте нарисуем описанную окружность. И точки пересечения $P$ и $Q$ с ней прямых $KI$ и $KH$.
Про эти точки известны факты: $MH=MQ,$ $PN=PI=PM$ (докажите!).И это хорошо..

(Оффтоп)

Этого должно хватить (с учетом 60 градусов ) для равенства тр-ков $MHI$ и $MQP$. ..

[TOTAL]

$\angle HIM = \angle HKM= 20^\circ$

[integ]

DeBill в сообщении #1513930 писал(а):

А давайте нарисуем описанную окружность. И точки пересечения $P$ и $Q$ с ней прямых $KI$ и $KH$.
Про эти точки известны факты: $MH=MQ,$ $PN=PI=PM$ (докажите!).И это хорошо..

(Оффтоп)

Этого должно хватить (с учетом 60 градусов ) для равенства тр-ков $MHI$ и $MQP$. ..

Спасибо большое! Но вопросы все равно возникли.



По лeммe o тpeзубцe $IP=NP=PM$. Равенство $HM=MQ$ не понимаю как доказывать.

Также не понимаю, как это поможет доказать равенство $MHI$ и $MQP$ (с учетом угла 60 градусов, даже если бы угол $\angle NKM =60^\circ$, тогда было бы понятно, что треугольник $PIM$ равносторонний, но и это бы не помогло доказать равенство треугольников $MHI$ и $MQP$, потому как были бы только две пары равных сторон!

[TOTAL]

integ в сообщении #1513973 писал(а):

Также не понимаю

Понимаете, что $IKMH$ лежат на одной окружности?
(Найдите два угла каждый пять градусов.)

[integ]

TOTAL в сообщении #1513946 писал(а):

$\angle HIM = \angle HKM= 20^\circ$

Спасибо! Если это было бы так, я бы знал как решить задачу до конца, но доказать этот факт у меня не получается.
Если бы это было так, из этого бы следовало, что $IKMH$ лежат на одной окружности

[TOTAL]

integ в сообщении #1513978 писал(а):

Если бы это было так, из этого бы следовало, что $IKMH$ лежат на одной окружности

Есть там углы, опирающиеся на $IH$?

[integ]

TOTAL в сообщении #1513981 писал(а):

integ в сообщении #1513978 писал(а):

Если бы это было так, из этого бы следовало, что $IKMH$ лежат на одной окружности

Есть там углы, опирающиеся на $IH$?

Все теперь понял! Спасибо. $\angle IKH = 5^\circ=\angle HMI$, тогда четырехугольник $IKMH$ описанный, а значит

$\angle IHM + \angle IKM = 180^\circ$, то есть

$\angle IHM = 180^\circ -\angle IKM = 180^\circ - 25^\circ= 155^\circ$

Далее ищем $NHM = 180^\circ - \angle HNM - \angle HMN = 180^\circ - 20^\circ - 30^\circ = 130^\circ$

Тогда $\angke NHI = 360 - 155 - 130 = 75^\circ$

Спасибо, очень изящное решение выходит через идею описанного четырехугольника!

Правильно?)

P.S. Через тpeзубeц пока все равно не понял)

[DeBill]

TOTAL в сообщении #1513976 писал(а):

Понимаете, что $IKMH$ лежат на одной окружности?

О да! Но мы не ищем легких путей!

integ в сообщении #1513973 писал(а):

Равенство $HM=MQ$ не понимаю как доказыват

Ну, угол $NMQ$ оприрается на ту же дугу, что и $NKQ$, и "высотность" соотв-х прямых поможет.

integ в сообщении #1513973 писал(а):

даже если бы угол $\angle NKM =60^\circ$

А это так - ибо $MPK$ опирается на дугу $MK$

integ в сообщении #1513973 писал(а):

были бы только две пары равных сторон

Ну, еще углы надо посчитать : $PMQ$ опирается на ту же дугу, что и $PKQ$ - а он есть угол меж биссектрисой и высотой - как и $HMI$... (тут я не заметил, что , по TOTAL, задача уже решена , и все остадьное - лишнее. Ну уж очень я был нацелен доказать равенство тр-ков, которых углядел . Нда, многие знания - многие печали...).

Тем не мене, знать те 2 факта - полезно. Вот две тренировочные задачи, на закрепление материала:
В окружность радиуса $R$ вписали тр-к $ABC$. Найти радиус описанной около $A'B'C'$, если
а) это - точки, симметричные ортоцентру относительно $BC,AC,AB$
б) это - центры окружностей, описанных около $IBC,ICA,IAB$, где $I$ - центр вписанной .

(Оффтоп)

Шютка