Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов

[artempalkin]

Друзья, подскажите, где можно найти хорошую последовательную формулировку признаков равномерной сходимости несобственных интегралов (с интегрированием на бесконечной области)?

Есть понятный признак Вейерштрасса, который везде описывается одинаково.

Есть признак Дирихле, который в некоторых источниках называется вроде бы "Дирихле-Абеля" и формулируется примерно так:

Пусть дан интеграл $\int\limits_a^{\infty}f(x,\alpha)g(x,\alpha)dx$.

Если

1) Множество первообразных функций $f(x,\alpha)$ равномерно ограничены по $\alpha$
2) Множество функций $g(x,\alpha)$ монотонны по крайней мере начиная с некоторого $x_0$ не зависящего от $\alpha$
3) Все функции $g(x,\alpha)$ равномерно по $\alpha$ стремятся к $0$ на бесконечности

то интеграл равномерно сходится по $\alpha$.

Из этого признака вроде бы следует другой признак, но я не совсем уверен и нигде явных формулировок его не нашел:

Пусть дан интеграл $\int\limits_a^{\infty}f(x,\alpha)g(x,\alpha)dx$.

Если

1) интеграл $\int\limits_a^{\infty}f(x,\alpha)dx$ равномерно сходится по $\alpha$
2) Множество функций $g(x,\alpha)$ монотонны по крайней мере начиная с некоторого $x_0$ не зависящего от $\alpha$
3) Все функции $g(x,\alpha)$ равномерно ограничены по $\alpha$

то интеграл равномерно сходится по $\alpha$.

Подскажите, как более конкретно формулируется этот признак? Где можно ясно прочитать несколько признаков равномерной сходимости (больше чем Вейерштрасса и Дирихле)? (можно без доказательств на первое время)

[Otta]

artempalkin в сообщении #1512395 писал(а):

Из этого признака вроде бы следует другой признак, но я не совсем уверен и нигде явных формулировок его не нашел:

Это как раз признак Абеля.
А перед этим - признак Дирихле.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1512396 писал(а):

Это как раз признак Абеля.
А перед этим - признак Дирихле.

Он так и звучит? Просто нигде не смог найти формулировки для НС интегралов

[Otta]

Ну, можно сказать, что так и звучит. Не знаю, почему Вы не можете найти. По-моему он есть везде. Доказываются оба по второй теореме о среднем.
В Фихтенгольце точно есть, еще где-то - посмотрите сами.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1512407 писал(а):

посмотрите сами.

Спасибо за помощь :)

Попробую посмотреть в Фихтенгольце. Насчет "везде есть" вопрос спорный. В Садовничем нет, в Демидовиче нет, в Кудрявцеве нет.

-- 02.04.2021, 12:07 --

Да, в Фихтенгольце есть, спасибо еще раз.

Фихтенгольц как будто намеренно избегает называть признаки какими-то именами. Возможно, что эти признаки никогда и не формулировали Вейерштрасс, Дирихле и Абель (а называют их так по аналогии с рядами). Либо он считает их настолько проходными и очевидными, что даже недостойными каких-либо названий :)

[svv]

artempalkin в сообщении #1512532 писал(а):

Фихтенгольц как будто намеренно избегает называть признаки какими-то именами.

Сравните:

Цитата:

Мы не стали также следовать традиции, согласно которой некоторым теоремам присваиваются имена их действительных или мнимых авторов. Зато мы охотно пользуемся именами топологов в терминологии и обозначениях.

(Рохлин, Фукс. Начальный курс топологии. Предисловие.)