Доказательство неравенств

[Ana345]

Добрый день!
Как можно доказать неравенство вида: $x^4>4x^2$
Можно ли доказать это неравенство путем деления друг на друга? Я попробовала воспользоваться этим методом и вот, что у меня вышло: $x^4>4x^2$ ;
$x^4/(4x^2)$ ; $1/4\cdot x^2$
Верно ли это?

[svv]

Приведите пример $x$, для которого неравенство нарушается.

[Ana345]

Это и будет доказательством данного неравенства?

[nnosipov]

Ana345 в сообщении #1511283 писал(а):

вот, что у меня вышло: $x^4>4x^2$ ;
$x^4/(4x^2)$ ; $1/4\cdot x^2$
Верно ли это?

Это загадочно. Жил-был знак неравенства, а потом вдруг исчез.

[Ana345]

ой.... я как-то не подумала об этом..
Выходит $x^4>4x^2$ в $1/4\cdot x^2$ раз
Можно сделать так?

[svv]

Ana345 в сообщении #1511286 писал(а):

Это и будет доказательством данного неравенства?

Нет, это будет означать, что доказать его невозможно, так как оно неверно. Но, может быть, задачу можно как-то модифицировать, добавить какие-то оговорки, чтобы утверждение стало верным.

-- Пт мар 26, 2021 13:19:17 --

Ana345 в сообщении #1511283 писал(а):

Как можно доказать неравенство вида: $x^4>4x^2$

Никак, поскольку неравенство неверно.
Приведите сами пример $x$, при котором неравенство нарушается.

[Ana345]

Например, подставим $1$ получим: $1>4$ что неверно. Этого будет достаточно?
Мне требуется именно доказать это неравенство. Если не ошибаюсь, то простые примеры\подстановки значений в неравенство, доказательством служить не могут..
Именно в этом моя проблема(

[svv]

Конечно. Надеюсь, Вы понимаете, что в математике невозможно доказать неверные утверждения?
Если бы Вы "доказали" Ваше неравенство, Вы бы тем самым доказали, что $1>4$. После подобных доказательств и вычислений здания и мосты рушатся.

-- Пт мар 26, 2021 13:37:04 --

Ana345 в сообщении #1511293 писал(а):

Если не ошибаюсь, то простые примеры\подстановки значений в неравенство, доказательством служить не могут

Подобные примеры, при которых получается $1>4$, не доказательством служат, они опровержением служат. Это называется "контрпример".

-- Пт мар 26, 2021 13:38:52 --

Ana345 в сообщении #1511293 писал(а):

Мне требуется именно доказать это неравенство.

svv в сообщении #1511297 писал(а):

в математике невозможно доказать неверные утверждения

[Ana345]

Хорошо, я вас поняла. Спасибо вам, что помогли хоть немного разобраться!

[svv]

Теперь можно подумать о том, как модифицировать исходную задачу, чтобы от Вас не требовалось выполнить невозможное. Например, можно так:
При каких $x$ справедливо неравенство $x^4>4x^2$ ?

Вы видите, что при $x=0$ неравенство не выполняется, потому что $0>0$ — ложно. Итак, случай $x=0$ мы рассмотрели, и предположим теперь, что $x\neq 0$. Что можно сказать про $x^2$ ?

[Ana345]

Мы можем сказать, что если $x$ не равен $0$ то правая часть неравенства будет умножена на $4$. То есть в правой части неравенства мы не получим число $1$ или $2$. Мы получим квадрат числа умноженного на 4

[svv]

А вот если $x\neq 0$, то может ли $x^2$ быть:
— положительным;
— отрицательным;
— нулевым?

[Ana345]

Он может быть положительным, а вот нулевым и отрицательным (из-за квадрата) он стать не может

[svv]

Вот почему это важно. Можно обе части неравенства умножить или разделить на положительное число, и мы получим равносильное неравенство. Оно может оказаться проще исходного.
(Равносильное — означает, что оно справедливо при тех же $x$, что и исходное.)

В нашем случае ($x\neq 0$) таким положительным числом является $x^2$. Разделив на него обе части исходного неравенства, Вы получите равносильное, но при этом более простое неравенство.

[vpb]

Весьма рекомендуется прочитать параграф 11 "Свойства числовых неравенств" в учебнике Мордкович, Николаев, Алгебра 8 (профильный уровень).