Разность корней a^2+1=2b^2 делится на любое число

[rightways]

Дано натуральное число $n$. Докажите, что существуют целые $a,b>1$ для которых $n|a-b$ и

$$a^2+1=2b^2$$

.

[lel0lel]

Ищем решение в виде $a=2nk+c, b=nk+c$. Приходим к уравнению Пелля: $c^2-2n^2 k^2=1, $ число $2n^2$ не полный квадрат.

[nnosipov]

rightways в сообщении #1511222 писал(а):

Докажите, что существуют целые $a,b>1$ для которых $n|a-b$ и

$$a^2+1=2b^2$$

Из общих соображений очевидно, что существует бесконечно много пар $(a,b)$, для которых $a \equiv b \equiv 1 \pmod{n}$.

P.S. Название темы вводит в заблуждение: что за "разность корней"? На самом деле речь идет о разности компонент одного решения.

[rightways]

Да, я неверно назвал, нужно было хотя бы написать "решение". Или ввести $f(x,y)=x^2-2y^2+1$.

А в этой задаче для суммы $a+b$ утверждение остается верным?

где $a,b>1$

[lel0lel]

Да. Решение будет таким $b=c-nk, a=2nk-c$, где $c, k$ определяются уравнением $c^2-2n^2k^2=1.$

[rightways]

lel0lel в сообщении #1511260 писал(а):

Да. Решение будет таким $b=c-nk, a=2nk-c$, где $c, k$ определяются уравнением $c^2-2n^2k^2=1.$

Ну тогда еще нужно будет доказать что $2nk>c>nk$

[lel0lel]

Это следует из $c=\sqrt{2n^2k^2+1}$. Кстати, в обоих случаях решения полные.