Бинарные операции и элементы

[Not_Al]

Здравствуйте. Пусть $X$ - непустое множество. Рассмотрим отображение $\alpha :X \to X^{X^2}$. Очевидно, оно не биективно и не сюръективно. Рассмотрим следующие множества:

$$gr_\alpha(X)=\left\lbrace x \in X :(X,\alpha(x)) - \text{группа} \right\rbrace$$

$$mon_\alpha(X)=\left\lbrace x \in X : (X,\alpha(x)) - \text{моноид} \right\rbrace$$

$$sem_\alpha(X)=\left\lbrace x \in X : (X,\alpha(x)) - \text{полугруппа} \right\rbrace$$

Понятно, что можно такие множества элементов рассматривать для разных алгебраических структур. Меня интересуют некие интересные свойства таких отображений $\alpha$ (возможно при наложении дополнительных условий на него ) и возможно какие-нибудь признаки неравенства множеств элементов указанных выше (очевидно, что $gr_\alpha(X) \subseteq mon_\alpha(X) \subseteq sem_\alpha(X)$), а также в принципе где об этой или родственных к этой теме читать.

[arseniiv]

По крайней мере среди этих $\alpha$ можно найти весьма хорошие: если $X$ сама группа по некоторой операции $\circ$ и обращением $x\mapsto x^{-1}$ то если взять $\alpha(a)(x, y) = x \circ a^{-1} \circ y$, тогда $\operatorname{gr}_\alpha(X) = X$: все такие $\alpha(x)$ будут групповыми операциями, а эти группы будут довольно хорошо связаны между собой (ну и вообще они будут изоморфны). От $X$ нам будет достаточно и структуры груды (heap) — тернарной операции $[\ldots]$ такой, что $[a, b, [c, d, e]] = [[a, b, c], d, e]$ и $[a, a, b] = [b, a, a] = b$ (с групповой структурой она согласуется как $[a, b, c] = a * b^{-1} * c$, где $*$ — любая из $\alpha(x)$, они все будут давать одно и то же значение для такого «аффинного» выражения — вот это и есть та связь всех групп, упомянутая выше). Эквивалентно, $X$ может быть просто торсором какой-то группы (иметь свободное и транзитивное действие этой группы; или другими словами, стабилизатор каждого $x \in X$ тривиальный) (левое действие или правое, не важно).

А вот для моноидов и полугрупп, не являющихся группами, подобная конструкция видится не особо возможной. Ну и это здесь конечно только одна специфическая $\alpha$, но вдруг будет полезной.

[Not_Al]

Спасибо за содержательный ответ. Первую часть его я вроде понял, а вот это:

arseniiv в сообщении #1509548 писал(а):

$X$ может быть просто торсором какой-то группы (иметь свободное и транзитивное действие этой группы

,мне не совсем понятно, что вы имели ввиду, значит в этой части:

arseniiv в сообщении #1509548 писал(а):

От $X$ нам будет достаточно и структуры груды (heap) — тернарной операции $[\ldots]$ такой, что ...

,я вас тоже кажется недопонял.
Но по тому как вы построили $\alpha$, что $\operatorname{gr}_\alpha(X) = X$ , думаю можно увидеть, как построить его для $\operatorname{sem}_\alpha(X)$ : пусть на $X$ задана полугрупповая операция $\circ$ и тогда $\alpha(x)(a,b)=a \circ x \circ b$ .Тогда $\operatorname{sem}_\alpha(X)=X$ , потому что $\forall x \in X$ :

$$(a \ast b) \ast c=(a \circ x \circ b) \ast c=(a \circ x \circ b)\circ x \circ c=a \circ x \circ (b \circ x \circ c)=a \circ x \circ (b \ast c)=a \ast (b \ast c)$$

,где $\ast$ - $\alpha(x)$ на $X$ .

[arseniiv]

Ну по поводу тех двух вещей не страшно, что недопоняли. Я имел в виду следующее: если взять группу $(X, {\circ}, e, {}^{-1})$ и группу $(X, {\circ'}, e', {}^{-1}')$, операция которой связана с первой группой как $x \circ' y = x \circ (e')^{-1} \circ y$, то по обеим этим группам мы построим по моей схеме одну и та же $\alpha$, потому что $x \circ y^{-1} \circ z = x \circ' y^{-1}' \circ' z$. Груда — это такая структура, которая позволяет объединить весь такой набор «групп со смещением нейтрального элемента», описывая все те равные выражения в терминах другой операции, $[x, y, z]$, и не позволяя выразить нейтральный элемент (а потому и обратный — но позволяя ту сложную комбинацию). Торсор — другой взгляд на тот же «отказ от нейтрального элемента», мы просто запрещаем говорить о групповой операции и вместо этого говорим только в терминах действия какой-то из этих групп на всех них. Свойства получаются одни и те же, аналогично тому как аффинное пространство получается из векторного «забыванием нуля».

Да, с полугруппами у вас хорошо вышло, я как-то думал не совсем о том (в примере с группами получаются всегда изоморфные, и там важно иметь обратный элемент, а с полугруппами этого уже не потребуешь… а он и не нужен оказался).