Процесс Пуассона

[Polarny]

Доказать, что предел равномерно случайных конфигураций независимых точек при стремлении средней плотности к константе и росте размера пространства есть процесс Пуассона.
Пример, есть отрезок $[n,n]\subset \mathbb{R}$. Бросаем туда $2n$ равномерно распределенных независимых точек и устремляем $n$ в бесконечность. В результате получаем процесс Пуассона.

Только начинаю знакомство со случайными процессами.
$X_t$ процесс Пуассона, если
1) $X_0=0 п.н.$
2) $X_{t1}, X_{t2}-X_{t1},X_{t3}-X_{t2}...$ - независимы
3) при $s<t$ c.в. $X_t-X_s$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda(t-s)$

Пусть $A_1, A_2,...,A_{2n}$ - координаты точек.
$\xi_1=A_1-(-n),\xi_2=A_2-A_1,...$ - случайные величины - расстояния между точками.
Наверное, разумно предположить что $\xi_i$ - независимы. И ещё что если на отрезке длинной $l$ не появилось ни одной точки, то расстояние до следующей точки распределено как и $\xi_i$, т.е. $P(\xi_i-l\in M|\xi_i>l)=P(\xi_i\in M)$, где M - событие отсутствия точки на отрезке (т.е. марковское свойство).

Насколько правильно я здесь всё расписал?

Если верно, то нашёл следующие факты:
1) если с.в. $\xi$ такая, что $P(\xi>x+y|\xi>x)=P(\xi>y)$, то она имеет экспоненциальное распределение
2) если $\xi_i$ имеют экспоненциальное распределение с параметром $\lambda$, то процесс $X_r(\omega)=\sup (k:\sum\limits_{i\leqslant k}^{}\xi_i(\omega)\leqslant r)$ - Пуассоновский.

Получается, по 1) мои $\xi_i$ имеют экпоненциальное распределение, и по 2) - это процесс Пуассона, который моделирует число точек, появившихся на отрезке $[-n,r]$

Возникает немало вопросов.
Зачем равномерность случайных конфигураций в условии?
Что означает стремление средней плотности к константе?
И зачем устремлять к бесконечности размер пространства?

Видимо, эти вопросы говорят о непонимании , которое хочется устранить. Прошу помощи у знающих людей

[alisa-lebovski]

Промежутки, возникающие от случайно накиданных равномерно распределенных точек, и зависимы, и не экспоненциально распределены. Вам надо работать по определению, смотреть распределения чисел точек, попадающих в отрезок, и в набор не пересекающихся отрезков, доказать сходимость к пуассоновскому.

[Polarny]

Вот не пойму как.
Верно же, что $X_t$ - количество точек на отрезке $[-n,t]$?
А $X_t-X_s$ - количество точек на $[s,t]$.
Вот что означает равномерно случайная конфигурация? Что вероятность точки $A_i$ попасть на отрезок $[s,t]$ равна $\frac{t-s}{n-(-n)}$? Или что? Не могу понять отчего оттолкнуться

[alisa-lebovski]

Polarny в сообщении #1509111 писал(а):

Что вероятность точки $A_i$ попасть на отрезок $[s,t]$ равна $\frac{t-s}{n-(-n)}$?

Да, если $A_i$ - координата точки, равномерно брошенной на отрезок. Но не в Ваших прежних обозначениях, когда они идут по порядку. Забудьте про порядок и расстояния между точками, считайте сами точки, сколько куда попало.

[Polarny]

Тогда вот что у меня получается.
Вероятность того, что на отрезке $[s,t]$ будет $k$ точек $p(k)=\binom{2n}{k}(\frac{t-s}{2n})^k(1-\frac{t-s}{2n})^{2n-k}$
Тогда

$$\lim\limits_{n\to \infty}^{}p(k)=(\frac{t-s}{2n})^k((2n)^k+...)\frac{1}{k!}(1-\frac{t-s}{2n})^{2n-k}=\frac{(t-s)^k}{k!}e^{-(t-s)}$$

А это распределение Пуассона с параметром $(t-s)$.
Т.к. $p(k)=p(X_t-X_s=k)$, то это процесс Пуассона.
Верно или где-то не прав?

[alisa-lebovski]

Polarny в сообщении #1509188 писал(а):

Верно или где-то не прав?

Как-то так, только еще надо доказать, что числа попаданий в не пересекающиеся отрезки в пределе независимы. Использовать полиномиальную схему (обобщение биномиальной).