Дробная производная.

[Otta]

Пошла почитала инструкцию.
Так вот, нулевые в среднем по периоду функции (как наш синус, например), обладают свойством.
Производная Вейля равна производной Римана-Лиувилля с $a=-\infty$. (Следует из Леммы 19.3. Самко, Килбас, Маричев "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения")

Так, для сведения. Поскольку тем самым, они уже посчитаны обе разом.

[Dan B-Yallay]

Otta в сообщении #1507775 писал(а):

Чего хочет вики. И Евгений Машеров. И довольно многие. А хочется иметь формулу, аналогичную классическому случаю. Для натуральных $n$. То есть $(\sin x)^{(n)}= \sin (x+\pi n/2)$ суметь распространить на все значения порядков производных.

Это тот же Риман-Лиувилль, но при $a=-\infty$.
То есть, для $0<\alpha<1$

$$D^\alpha_{-\infty}(\sin x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{-\infty}^x\frac{\sin t}{(x-t)^\alpha}\, dt$$

Это можно вычислить, интегралы там классические и известные, и значение получается как раз $\sin(x+\frac{\alpha\pi}{2})$

Вот это интересно, спасибо Otta!

[novichok2018]

Otta -"Производная Вейля равна производной Римана-Лиувилля" - это распространённое заблуждение, Вы введение к цитированной книги прочитайте , только Стефан Григорьевич САмко, чтобы он не обиделся. Или текст в процитированном Вами параграфе внимательнее. Этот интеграл совсем не интеграл.
Вопрос: а как у Вас получился результат для синуса в бесконечных пределах? Если Вы использовали формулу из книги, где убывающая экспонента умножается на синус, то там экспонента по написанным условиям не может исчезнуть. Я такой формулы в тексте не нашёл. Интеграл на бесконечности очевидно расходится, если синус без экспоненты, нет?

[Otta]

novichok2018 в сообщении #1507785 писал(а):

"Производная Вейля равна производной Римана-Лиувилля" - это распространённое заблуждение,

Прошу прощения, но в указанных условиях оно доказано.

Вложение:

int.png

novichok2018 в сообщении #1507785 писал(а):

Я такой формулы в тексте не нашёл. Интеграл на бесконечности очевидно расходится, если синус без экспоненты, нет?

Нет, очевидно сходится. Признак Дирихле.

[Евгений Машеров]

Да, со степенью перед A я прокололся, причём вначале написал правильно, а потом решил уточнить... Исправил.

А почему мне так хочется простого оперирования с синусами/косинусами...
В той области, где, КМК, они мне могут пригодится, не то, чтобы функции периодические, но Фурье полезный прикладной инструмент (а "нулевые в среднем" они по нематематическим причинам).
И если $\mathcal{F}(I^\alpha_\pm\varphi)=\hat{\varphi}/(\mp ix)^\alpha$ (7.1 у Килбаса) это мне очень сильно облегчит жизнь.

[novichok2018]

Вы только начало процитировали. Я что там следом написано.
Признак Дирихле применяется к условно сходящимся интегралам? Ещё раз - в этой формуле стоит не интеграл в обычном смысле, как Вы хотите с ним обращаться, дочитайте текст теоремы до конца.
Ладно, думайте как хотите. Это Ваше право.

[Otta]

novichok2018
Опечатку в фамилии исправила.

novichok2018 в сообщении #1507790 писал(а):

Вы только начало процитировали. Я что там следом написано.

... там написано "где интеграл справа понимается как условно сходящийся...[]" Вы сами можете все прочитать, книга у Вас, вижу, есть.
Условная сходимость интеграла в указанном в книге смысле следует из обычной условной сходимости, не наоборот.

novichok2018 в сообщении #1507790 писал(а):

Признак Дирихле применяется к условно сходящимся интегралам?

Признак Дирихле является достаточным признаком сходимости интегралов.
Условная сходимость проверяется по определению. Тот интеграл, который фигурирует здесь (от синуса на степень) - условно сходящийся.
Что еще?

[arseniiv]

Otta в сообщении #1507775 писал(а):

<…>

Вот я в надежде на такой пост и ввязался в тему, спасибо.

Евгений Машеров в сообщении #1507789 писал(а):

А почему мне так хочется простого оперирования с синусами/косинусами...

Не только вам, я бы считал это отличительным свойством хорошего математика — чтобы ему хотелось, чтобы операторы подобного рода себя вели очевидным образом на «самых простых функциях». И так как у нас $\mathbb R$, «самые простые функции» — не только многочлены, но и экспоненты, включая комплексные, включая тем самым синусы.

[Lia]

Сообщение novichok2018 перенесено в Карантин для исправления.

[Red_Herring]

Другое (неэквивалентное) определение производной получается через мультипликаторы: надо сделать преобразование Фурье (в смысле обобщенных функций), умножить на $\xi^\alpha$ и потом обратное преобразование Фурье. Пеимущество: инвариантность относительно сдвигов. Недостаток: только для фунций из $\mathscr{S}'(\mathbb{R})$.

Но что такое $\xi^\alpha$ (др. словами: чему равен аргумент?) Имееет смысл одно из двух $(\xi\pm i0)^\alpha$. Или на положительной полуоси арифметический корень, на отрицательной получается продолжением в одну из комплексных полуплоскостей. Тогда носитель не расширяется "вперед" или "назад" (в зависимости от выбора); не расширятся вообще он не может (кроме целочисленных $\alpha$).
При этом условия роста нужно накладывать только в том направлении, куда носитель расширяется.

И при таком определении задача становится легкой.