Пример из Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций...

[Ivan_B]

Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. стр. 83 писал(а):

Пусть $f$ - функция, которая определена на сегменте $[a,b]$, удовлетворяет условию Липшица $|f(x_2)-f(x_1)| \leqslant K|x_2-x_1|$ c константой $K<1$ и отображает сегмент $[a,b]$ в себя.

Тогда существуют $x_1$ и $x_2$, такие что $f(x_1)=a$ и $f(x_2)=b$, тогда $|b-a|=|f(x_2)-f(x_1)| \leqslant K|x_2-x_1| \leqslant K|b-a|$, тогда $K\geqslant 1$.

[Lia]

Ivan_B
Сформулируйте, в чем проблема. Ваша.

[Ivan_B]

В условии $K<1$, противоречие. Нет такой функции.

[Lia]

Сейчас я сформулирую.
Вы путаете предлоги "в" и "на". Второе - обязательно сюръекция. Первое - нет.
Это проблема раз.
Проблема два.
Тем самым, Вы только что показали, что сюръективное отображение (отрезка на себя в Вашем случае) не может быть сжимающим. Все.

[Ivan_B]

Lia в сообщении #1506263 писал(а):

Вы путаете предлоги "в" и "на". Второе - обязательно сюръекция. Первое - нет.

Спасибо! Заклинило что-то у меня...