Изоморфизм групп для R и C

[StepV]

У Буниной в лекциях по алгебре столкнулся с утверждением, что группы $ (\mathbb{R},+) \cong (\mathbb{C},+)$.
Изоморфизм между $R^2$ и $C$ понятен. Но, как построить изоморфизм для указанных групп?
Вариант отображения через модуль числа не проходит, т.к. не дает биекции в обе стороны. Какую функцию отображения надо использовать?

[mihaild]

StepV в сообщении #1505494 писал(а):

Вариант отображения через модуль числа не проходит, т.к. не дает биекции в обе стороны.

Да и в одну не дает.

Попробуйте использовать соображение, что если $f(x) = z$, то $f(qx) = qz$ при $q \in \mathbb{Q}$ (и доказать его). Еще заметим, что $f(x +_\mathbb R y) = f(x) +_\mathbb C f(y)$. Ничего не напоминает?

[arseniiv]

StepV
Заметьте сразу, что искать непрерывный изоморфизм тщетно (попытка с модулем намекает, что вы искали под фонарём), ведь нет и непрерывных биекций $\mathbb R\leftrightarrow\mathbb R^2$, даже не озабоченных переводом сложения в сложение.

[StepV]

mihaild в сообщении #1505498 писал(а):

Попробуйте использовать соображение, что если $f(x) = z$, то $f(qx) = qz$ при $q \in \mathbb{Q}$ (и доказать его).

Спасибо. Завтра посмотрю варианты доказательств.

mihaild в сообщении #1505498 писал(а):

Еще заметим, что $f(x +_\mathbb R y) = (x) +_\mathbb C f(y)$. Ничего не напоминает?

Напоминает комплексификацию, но не уверен. Подскажите, где эту тему посмотреть?

[mihaild]

StepV в сообщении #1505508 писал(а):

Напоминает комплексификацию, но не уверен. Подскажите, где эту тему посмотреть?

Нет, гораздо проще.
Посмотрите вместе на два свойства: $f(q\cdotx) = q\cdotf(x)$ и $f(x + y) = f(x) + f(y)$. Знаете ли вы какой-нибудь класс отображений, задаваемый как раз такими свойствами?

[vpb]

А вот посмотрим так. Обычная линейная функция на ${\mathbb R}$, то есть $f(x)=ax$, обладает свойством $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Будем интересоваться, а какие бывают вообще функции с таким свойством (такие функции называются аддитивными)? Можно показать, что если $f$ предполагается, кроме аддитивности, еще и непрерывной, то тогда она линейная (см. в Фихтенгольце (трехтомник) 1-й том, в главе 2, кажется). А если не предполагается, тогда разные другие функции могут быть.
Предлагается доказать, для началу, что аддитивная функция должна быть ${\mathbb Q}$-линейной, т.е. $f(\lambda x)=\lambda f(x)$, если $\lambda$ --- любое рациональное число.

А после того, как это показали, предлагается узнать по книжкам, что такое "лемма Цорна"
(см., например, в книге Калужнин, Введение в общую алгебру, в главе 1; еще она упомянута в учебнике Кострикина-Манина, и много где еще), что такое "базис Гамеля" (базис ${\mathbb R}$, рассматриваемого как векторное пространство над ${\mathbb Q}$), и как с помощью леммы Цорна доказывается, что в любом векторном пространстве, над любым полем, есть базис. (Доказательство же самой леммы Цорна довольно сложно, и в частности в университетскую программу (даже мехмата МГУ) не входит).

Впрочем, если вы так и не узнаете про все эти факты и понятия, овладению линейной алгеброй в обычных рамках это нисколько не повредит. Потому что упомянутые вещи довольно заумные, на большого любителя. В частности, ни одна аддитивная функция, кроме непрерывных, не может быть изображена какой-то разумной формулой или вообще описана в более-менее явном виде !
Просто такие функции существуют, а какие именно --- вещь в себе ... Изоморфизм, о котором Бунина говорила, имеет в качестве своих компонент (действительной и мнимой) как раз такие "невообразимые" функции.

А после уж того, как узнаете предлагаемое, предлагается отписаться в тему, и будут даны дальнейшие разъяснения.

[FL91]

Можно посмотреть на размерности векторных пространств $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^n$ над $\mathbb{Q}$.

[Someone]

vpb в сообщении #1505532 писал(а):

Доказательство же самой леммы Цорна довольно сложно, и в частности в университетскую программу (даже мехмата МГУ) не входит

Ну да, как же аксиому выбора доказать.

[StepV]

vpb в сообщении #1505532 писал(а):

если вы так и не узнаете про все эти факты и понятия, овладению линейной алгеброй в обычных рамках это нисколько не повредит. Потому что упомянутые вещи довольно заумные, на большого любителя. В частности, ни одна аддитивная функция, кроме непрерывных, не может быть изображена какой-то разумной формулой или вообще описана в более-менее явном виде

Спасибо за развернутую программу. Действительно вы правы. Посмотрел тему функциональное уравнение Коши и аддитивные функции. Это целый новый мир для меня. Придется выстроить более строгий алгоритм изучения:закончить начатое дело - это цикл лекций Буниной, а затем попробовать расширить кругозор в поднятом на этой лекции примере.

[arseniiv]

Ну вообще на мой нескромный взгляд функциональное уравнение Коши — это самое скучное функциональное уравнение. Решить-то его один раз самому наверно полезно (по крайней мере с подсказками там просто нечего делать), но польза от него самого по себе не так чтобы была. Есть польза в решении нескольких более сложных функциональных уравнений, если логарифмировать и экспоненцировать.

Аддитивные функции могут быть и ещё хуже, чем тут, и наоборот лучше, когда сложение-умножение непрерывны и функция нам требуется тоже непрерывная (часто!). Так что можно сразу считать что однородность $f(c x) = c f(x)$ тоже есть, и вместе это уже привычная линейность. А вот различные обобщения однородности вам скорее встретятся больше: квадратичная форма например однородна степени 2 (когда изнутри выносится скаляр, он возводится в квадрат), и это половина причины её названия; норма абсолютно однородна (от скаляра берётся модуль).

[vpb]

Someone в сообщении #1505569 писал(а):

Ну да, как же аксиому выбора доказать.

А зачем её доказывать, она и так очевидна. Моё отношение к этим делам такое. Аксиому выбора считаем очевидной, непосредственно данной нам в ощущениях (с). Даже не обязательно её формулировать явно. А лемму Цорна доказываем. Поскольку она отнюдь не интуитивна, там вообще не сразу понятно, о чем речь идет. При этом придерживаемся обычной логики, а не математической. Я вообще на формализм матлогики, и на аксиоматическую теорию множеств, внимания мало обращаю. Как-то так.

-- 18.02.2021, 23:05 --

StepV в сообщении #1505571 писал(а):

закончить начатое дело - это цикл лекций Буниной, а затем попробовать расширить кругозор в поднятом на этой лекции примере.

Это разумно. Только, на всякий случай, (1) не стоит пытаться в лекциях Буниной понять всё до буквы (как и вообще в любой книжке), и (2) ограничиваться в постижении алгебры только этими лекциями.

-- 18.02.2021, 23:16 --

arseniiv в сообщении #1505590 писал(а):

функциональное уравнение Коши — это самое скучное функциональное уравнение.

Отчего же ? Есть вещи, которые почти каждый любитель математики по молодости делает. Скажем, теорему Ферма пытается доказать, или проблему Гольдбаха, или еще что ... И есть еще типичные задачи, довольно привлекательные, через которые тоже всяк проходит. Типа доказать неразрешимость какого-то диофантова уравнения с помощью сравнений. Вот, по-моему, по молодости довольно интересно доказать, что аддитивная функция, которая к тому же непрерывна, должна быть линейной. Мне, во всяком случае, в детстве это было интересно.

[arseniiv]

Ну в общем StepV сказал:

StepV в сообщении #1505571 писал(а):

Это целый новый мир для меня.

а я заметил, что глобально это вряд ли будет мир, просто кусочек, не теория, даже не особо и идея, которую можно потом применять в других местах.

Я тоже мимо этого уравнения не прошёл когда интересовался функциональными. И конечно полезно знать, что непрерывная функция из $\mathbb R$ задаётся своими значениями в рациональных точках.

[Someone]

vpb в сообщении #1505660 писал(а):

А зачем её доказывать, она и так очевидна. Моё отношение к этим делам такое. Аксиому выбора считаем очевидной, непосредственно данной нам в ощущениях (с). Даже не обязательно её формулировать явно. А лемму Цорна доказываем.

История математики показывает, что это весьма опасный подход, чреватый многими неожиданными ошибками.

vpb в сообщении #1505660 писал(а):

При этом придерживаемся обычной логики, а не математической.

Что такое "обычная логика"?

[vpb]

Someone в сообщении #1505683 писал(а):

Что такое "обычная логика"?

Та, по которой, скажем, Фихтенгольц или Камынин рассуждают.

Someone в сообщении #1505683 писал(а):

История математики показывает, что это весьма опасный подход, чреватый многими неожиданными ошибками

В истории математики тоже разные примеры были. Скажем, в Древней Греции с одной стороны, Архимед нашел объем шара, а с другой, как говорит книжка,

Цитата:

Как гласят легенды, древнегреческий философ Диодор Кронос дал обет не принимать пищу, пока не разрешит загадку парадокса "Лжец", и в результате скончался от голода, а его соотечественник Филит Косский просто свел счеты с жизнью.

Как видите, разные подходы, разные люди. Лично мне нелюбовь к излишнему формализму (и одновременно любовь к аккуратности рассуждений, в известных рамках) пока нисколько не повредила.

[Someone]

vpb в сообщении #1505776 писал(а):

Someone в сообщении #1505683 писал(а):

Что такое "обычная логика"?

Та, по которой, скажем, Фихтенгольц или Камынин рассуждают.

"Обычная логика" профессиональных математиков и есть математическая логика. Все её законы соблюдаются, но нет полной формализации и не выписываются детали, которые читатель должен восполнить сам. Или Вы воображаете, что математическая логика — это когда весь текст состоит исключительно из логических символов? Например, так:

\begin{multline*} \vdash(\varphi\to(x\in X\mapsto A)\in(X-cn\to\mathbb C))\&\vdash(\varphi\to(x\in X\mapsto B)\in(X-cn\to\mathbb C))\Rightarrow\\ \Rightarrow\vdash(\varphi\to(x\in X\mapsto(A\cdot C))\in(X-cn\toC)). \end{multline*}

Ничего подобного. Так невозможно ни писать, ни читать. Но математик должен написать его так, чтобы, приложив достаточно большие усилия, написанный им текст возможно было переписать в таком виде, восполнив все "очевидные" пропуски. В противном случае коллеги сочтут доказательство ошибочным.