Абсолютная сходимость ряда

[vatrushka]

Ну так сказал вольфрам, да, тут надо отдельно думать почему этот интеграл сходится, то есть брать его, но это уже не так сложно как исходная задача
Благодарю, мне указали на пробелы в образовании, с университета уже подзабыл как с помощью эквивалентных что то доказывать

[artempalkin]

vatrushka в сообщении #1503550 писал(а):

тут надо отдельно думать почему этот интеграл сходится, то есть брать его, но это уже не так сложно как исходная задача

Ну я бы не согласился :) Все-таки использовать признак - означает свести решение задачи к решению более простой задачи (тогда есть смысл). Вы так нигде и не использовали эквивалентность $\ln (n+1)$ на бесконечности

[ewert]

artempalkin в сообщении #1503552 писал(а):

Вы так нигде и не использовали эквивалентность $\ln (n+1)$ на бесконечности

А и не обязательно для логарифма, там ведь перед ним ещё и просто эн

[marie-la]

Сведите к проверке сходимости $\int\limits_{2}^{+\infty}\frac{1}{x \ln^2 x}dx$

[vatrushka]

Да, можно сказать что $\frac{1}{x \cdot ln^2(x + 1)} < \frac{1}{x \cdot ln^2 (x)}$
А интеграл $ \int \frac{1}{x \cdot ln^2 (x)} dx = \int \frac{1}{ ln^2 (x)} \frac {1}{x} dx = \int \frac{1}{ln^2 x} d( ln x ) = - \frac{1}{ln x}$

[ewert]

vatrushka в сообщении #1504283 писал(а):

можно сказать что $\frac{1}{x \cdot ln^2(x + 1)} < \frac{1}{x \cdot ln^2 (x)}$

Можно, но вредно -- могло ведь и не повезти. В большинстве случаев удобнее заменять на эквивалентное: $\ln(x+1)\sim\ln x$; правда, это надо формально обосновывать. Технически проще замена $x\sim x+1$.