Относительность энергий

[StaticZero]

Freeman-des в сообщении #1501479 писал(а):

А что с ней не так?

Ну как, вы можете применить её к шайбе и получить $\Delta E_k = A(\text{тяжести}) + A(\text{реакции опоры})$. Все ваши вопросы отпадут сразу, если не полениться сосчитать все работы. Ну с тяжестью всё понятно, но я вам очередной раз советую посчитать всё-таки работу силы реакции опоры. Работу совершать могут все силы, не только потенциальные, это раз, а для постоянной силы можно тоже отыскать потенциал, это два (с таким вы будете сталкиваться всё время в электростатике, где вам будет встречаться постоянная напряжённость поля, самостоятельно или в виде приближения: если электрическое поле $\mathbf E = (E_x, 0, 0)$ не зависит от точки пространства, то для него можно формально ввести потенциал $\varphi = -x E_x$ такой, что $- \operatorname{grad} \varphi = (E_x, 0, 0)$).

[rascas]

Freeman-des в сообщении #1501434 писал(а):

закон сохранения полной механической энергии

Закон сохранения механической энергии: Полная механическая энергия изолированной системы тел, между которыми действуют только потенциальные силы, остаётся постоянной.

Freeman-des поясните почему вы считаете, что этот закон возможно применить к решению вашей задачи про шайбу? Шайба это что изолированная система?

[DimaM]

Freeman-des в сообщении #1501469 писал(а):

В итоге, мы не можем говорить, что полная механическая энергия сохраняется для шайбы. Но, по всей видимости, должны говорить, что полная механическая энергия сохраняется для систему шайба + плоскость. Но как это обосновать на формулах, я еще не понял.

Пусть Земля вместе с наклонной плоскостью имеет массу $M$. Определите ее кинетическую энергию и сделайте предельный переход $M\to\infty$.
По-моему, этот вопрос здесь уже поднимался минимум дважды.
См. книжку Бутиков, Быков, Кондратьев "Физика в примерах и задачах", пример 16.

[Freeman-des]

StaticZero, rascas, DimaM, большое спасибо!

rascas в сообщении #1501528 писал(а):

Freeman-des поясните почему вы считаете, что этот закон возможно применить к решению вашей задачи про шайбу? Шайба это что изолированная система?

В последнем посте я уже догадался, что шайба - это не изолированная система. Наверное, не часто приходилось сталкиваться с задачами, где нужно было учитывать подобное.

DimaM в сообщении #1501531 писал(а):

См. книжку Бутиков, Быков, Кондратьев "Физика в примерах и задачах", пример 16.

Великолепная книжка! Великолепное объяснение! Но одна деталь мне осталась не ясна, видимо, в силу моей неподготовленности.

В системе отсчета, которая покоится относительно Земли и машинки, которые еще не начали свое движение, возникающая кинетическая энергия Земли пренебрежимо мала по сравнению с приобретаемой кинетической энергией машинки. Поэтому мы говорим, что вся потенциальная энергия внутри машинки перешла в ее кинетическую энергию.
Действительно, в формуле $W=\dfrac{m \upsilon^2}{2}(1+\dfrac{m}{M})$, дробь $\dfrac{m}{M}$ - это пренебрежимо малая величина.

Но потом мы рассматривает то же самое, но с точки зрения системы отсчета, которая движется на встречу машине с определенной скоростью. Тогда мы можем получить изменение полной механической энергии системы машина-Земля:

$\Delta E=3\dfrac{m\upsilon^2}{2}+\dfrac{M}{2}[(1-\dfrac{m}{M})^2 \upsilon^2-\upsilon^2]$
Здесь мы видим, что первое слагаемое - это кинетическая энергия, которая приобретена машиной, а второе - изменение (убыль) кинетической энергии Земли.
Автор утверждает, что теперь изменение кинетической энергии Земли по порядку величины сравнимо с изменением кинетической энергии машины, поэтому пренебрежение этим изменением невозможно. Но я не совсем понимаю, как увидеть здесь сравнимость по порядку величины изменений этих кинетических энергий. По-прежнему $\dfrac{m}{M}$ почти ноль, тогда разность квадратов скоростей - это ноль, ноль на массу Земли - это ноль. А кинетическая энергия машинки - не ноль. Как разобраться в этом?

[EUgeneUS]

Freeman-des в сообщении #1501723 писал(а):

Автор утверждает, что теперь изменение кинетической энергии Земли по порядку величины сравнимо с изменением кинетической энергии машины, поэтому пренебрежение этим изменением невозможно. Но я не совсем понимаю, как увидеть здесь сравнимость по порядку величины изменений этих кинетических энергий.

По шагам
а) $v^2$ можно вынести за квадратные скобки
б) после чего возвести в квадрат то, что в круглых скобках, после чего привести подобные слагаемые.
в) после чего внести в квадратные скобки $M$, а вынести $m$.

В результате в скобках останется два слагаемых: одно порядка $1$, а другое порядка $\frac{m}{M}$

[Freeman-des]

Великолепно! Большое спасибо. Всё стало ясно.

[Freeman-des]

Еще такой вопрос возник. Вот есть две ситуации.
1. Машина разгоняется по Земле. Для системы машина-Земля не выполняется ЗСЭ, так как есть непотенциальные силы (силы трения покоя между Землей и колесами). Полная механическая энергия системы увеличивается за счет энергии топлива в двигателе машины. Причем это видно с точки зрения любой ИСО.
2. Шайба съезжает с горки, которая закреплена на Земле. В СО, связанной с Землей, всё хорошо: ЗСЭ выполняется, так как сила нормальной реакции, действующая на шайбу, так и вес шайбы, действующий на горку, дают нулевые работы. Но если перейти в подвижную ИСО, подобную той, что рассматривается выше, то мы увидим, как над шайбой, так и над горкой, закрепленной на Земле, сила нормальной реакции опоры и сила веса шайбы совершают ненулевые работы. Это непотенциальные силы, они равны между собой так же, как силы трения покоя были равны в первой ситуации. Но тут интуитивно понятно, что ЗСЭ должен выполняться.

Вроде ситуации очень похожи, но разные. Почему ЗСЭ во втором случае не выполняется?

[rascas]

Freeman-des в сообщении #1501762 писал(а):

Но если перейти в подвижную ИСО, подобную той, что рассматривается выше, то мы увидим, как над шайбой, так и над горкой, закрепленной на Земле, сила нормальной реакции опоры .... совершают ненулевые работы.

Шайба действует на горку с такой же силой как и горка действует на шайбу, только направление этих сил противоположное.(По третьему закон Ньютона: сила действия равна силе противодействия.).
И если нет трения скольжения между шайбой и горкой, работа пары этих сил всегда равна нулю. Т.о. если работа силы действующая на шайбу положительная, то обязательно работа силы действующая на горку отрицательная.

Freeman-des в сообщении #1501762 писал(а):

интуитивно понятно, что ЗСЭ должен выполняться.

Эта пара сил никогда не меняет энергию изолированной системы тел, и ни как не нарушает закон сохранения энергии.

[EUgeneUS]

rascas в сообщении #1501796 писал(а):

Эта пара сил никогда не меняет энергию изолированной системы тел, и ни как не нарушает закон сохранения энергии.

Тут есть тонкость, которую лучше сразу проговаривать. Иначе может возникнуть когнитивный диссонанс.

Ваши рассуждения вполне применимы для следующих примеров:
1. Два шарика, соединенных напряженной невесомой пружиной, покоятся. Пружину отпускаем. Третий закон Ньютона вполне применим к шарикам. Однако, кинетическая энергия шариков увеличилась.
2. Два шарика сталкиваются абсолютно не упруго. Третий закон Ньютона вполне применим к шарикам. Однако, кинетическая энергия системы уменьшилось. А если тепло рассеялось, то и общая энергия системы уменьшилась.

Почему так?

Нужно вспомнить, что третий закон Ньютона говорит о паре сил, которые приложены к различным телам. И сохранение кинетической энергии соблюдается только в одном случае - если точки приложения этой пары сил не перемещаются друг относительно друга. Точнее: скалярное произведение относительной скорости точек приложения сил и направления сил равно нулю.
Что не выполняется в приведенных примерах.

[Freeman-des]

Я открываю Савельева. И читаю формулировку закона сохранения энергии:

Цитата:

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.

EUgeneUS, получается, эта формулировка не полна? Нужно добавить в нее, что в системе тел могут действовать неконсервативные силы, но их скалярное произведение с относительной скоростью должно равняться нулю? Это логично, по крайней мере, дает правильные результаты для всех описанных ситуаций. Но откуда это строго следует?

-- 19.01.2021, 16:07 --

Вообще получается интересно. У Савельева (да, очевидно, не только у него). Две формулировки ЗСЭ:
Первая.

Цитата:

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.

Вторая.

Цитата:

Полная механическая энергия системы тел сохраняется, если на нее не действуют внешние неконсервативные силы.

Т.е. в первом случае система замкнута, а во втором - нет.
Рассмотрим шайбу, которая без трения скатывается с горки в системе отсчета горки. Если рассмотреть шайбу, как самостоятельную систему, то ЗСЭ будет выполняться во второй формулировке. Если перейти в ИСО, которая будет двигаться относительно горки с некоторой скоростью, то вторая формулировка уже не будет выполнима для шайбы, так как возникла работа неконсервативной силы нормальной реакции опоры. Однако переход к замкнутой системе: Земля с горкой + шайба опять позволяют выполниться ЗСЭ, но в первой формулировке. Правда с замечанием EUgeneUS.

Я правильно размышляю?

[EUgeneUS]

Freeman-des
Читайте, пожалуйста, внимательнее. Это важно.
1. Мой комментарий относился к словам ув. rascas, где консервативные силы не упоминались, а не к словам Савельева, не менее уважаемого.
2. Формулировка:

Freeman-des в сообщении #1501855 писал(а):

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.

Не эквивалентна формулировке:
"Полная механическая энергия замкнутой системы тел остается постоянной тогда и только тогда, когда между телами системы действуют только консервативные силы"

3. В первом моём примере (шарики и пружинка) между шариками действуют консервативные силы, но так я и говорил, что не сохраняется кинетическая энергия (а не полная).

4. Чтобы перейти к полной энергии, надо воспользоваться свойством консервативных сил: $F = \nabla U$. Назвать $-U$ потенциальной энергией и учитывать её в полной энергии.

[Freeman-des]

EUgeneUS в сообщении #1501859 писал(а):

но так я и говорил, что не сохраняется кинетическая энергия (а не полная).

Понял. Не заметил.

EUgeneUS в сообщении #1501859 писал(а):

Не эквивалентна формулировке:
"Полная механическая энергия замкнутой системы тел остается постоянной тогда и только тогда, когда между телами системы действуют только консервативные силы"

Но мой вопрос остается актуальным. В системе "шайба - горка" действуют неконсервативные силы - сила нормальной реакции опоры и вес шайбы. Но закон сохранения полной механической энергии выполняется. Товарищ rascas указывает, что работы этих сил компенсируют друг другу, и ему хочется верить. Но как же ситуация, в которой машина едет по земле? Здесь сила трения-покоя действует на машину, разгоняя ее. Она же по третьему закону Ньютона действует на землю. Эти силы равны по модулю, и по такой же логике хочется сказать, что их суммарная работа будет равна нулю. Но это не так.

[EUgeneUS]

Freeman-des в сообщении #1501862 писал(а):

Здесь сила трения-покоя действует на машину, разгоняя ее.

Началось в деревне лето...
На форуме было более одного топика на тему "какая сила разгоняет автомобиль".
Найдите их и ознакомьтесь. Особое внимание обратите не то, что слова "разгоняет" требуют более точного определения.

[Freeman-des]

Это не важно. Важно, что на автомобиль действует сила. На землю действует сила. Эти силы неконсервативные. И по третьему закону Ньютона они равны по модулю и противоположны по направлению.
И вопрос про силу нормальной реакции опоры висит в воздухе без какого-либо внимания.

[arseniiv]

EUgeneUS
Аж две темы как минимум. Вот на этот пост видимо стоит ссылаться для краткости:

EUgeneUS в сообщении #1410249 писал(а):

Весь перегиб и парадокс в бытовом слове "разгонять".

Если вернуться к истокам, то
1. Есть теорема о движении ц.м. системы. Которая говорит, что изменить суммарный импульс системы могут только внешние силы.
При этом изменение импульса оказывается инвариантом относительно перехода между ИСО, как суммарное изменений импульса, так и вклад в изменение импульса каждой внешней силы:

$d\vec{P} = (\sum\limits_{}^{} \vec{F_i})dt = \sum\limits_{}^{} (\vec{F_i}dt)$
суммирование по всем внешним силам.

2. Есть теорема о кинетической энергии системы. Которая говорит, что изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.
При этом изменение кинетической энергии не является инвариантом относительно перехода между ИСО.

Отсюда
а) если "разгонять" - это увеличивать суммарный импульс (в СО дороги - тут приходится указывать СО из-за слова "увеличивать"), то автомобиль разгоняет сила трения.
б) если "разгонять" - это увеличивать кинетическую энергию (в СО дороги), то автомобиль разгоняют внутренние силы. Так как сила трения работы (в ИСО дороги) не совершают.
в) ничего нет удивительного в том, что нашлась такая ИСО, в которой сила, которая изменяет импульс, работы не совершает.