Доказать тождество

[yurasmolensk43]

Задача: Нужно доказать, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что $\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{x}{2} +\frac{3x^2}{8} + o(x^2), x\to0$

Пытался через асимптотическую формулу разложить корень, но там не хватает точности. Затем через неравенство Бернулли попробовал оценить сверху, чтобы как-то подойти к теореме о двух милиционерах, но и так не получилось. Совсем не понимаю, как без формулы Тейлора это можно решить.

[nnosipov]

yurasmolensk43
А Вы смысл доказываемой формулы понимаете? Что конкретно нужно доказать?

-- Вт янв 12, 2021 09:08:56 --

yurasmolensk43 в сообщении #1500383 писал(а):

Пытался через асимптотическую формулу разложить корень, но там не хватает точности. Затем через неравенство Бернулли попробовал оценить сверху, чтобы как-то подойти к теореме о двух милиционерах, но и так не получилось.

Нет, ничего такого здесь не нужно, все гораздо проще.

[yurasmolensk43]

nnosipov в сообщении #1500384 писал(а):

А Вы смысл доказываемой формулы понимаете? Что конкретно нужно доказать?

Да. Нужно доказать, что если все слагаемые кроме о-малого перенести влево и поделить на $x^2$, то предел такого отношения равен нулю в нуле. Ну или можно перенести все, кроме $\frac{3x^2}{8}$, и доказать, что левая часть будет эквивалентна $\frac{3x^2}{8}$

[nnosipov]

yurasmolensk43 в сообщении #1500428 писал(а):

Нужно доказать, что если все слагаемые кроме о-малого перенести влево и поделить на $x^2$, то предел такого отношения равен нулю в нуле.

Очень хорошо, это главное. Тогда намекну, что делать дальше с тем выражением (которое получается после перенесения указанных слагаемых в левую часть): домножить и разделить на "сопряженное" выражение.

[Legioner93]

ИМХО, техничнее сразу раскладывать $(1+x)^{-\frac12}$

[nnosipov]

Так препод запретил Некоторый смысл здесь какой может быть: как по имеющимся коэффициентам разложения по Тейлору вычислить следующий коэффициент. В данном случае фактически вычислится коэффициент при $x^3$.

[Евгений Машеров]

Возвести в квадрат и расписать левую часть, как геометрическую прогрессию?

[bot]

yurasmolensk43 в сообщении #1500428 писал(а):

Ну или можно перенести все, кроме $\frac{3x^2}{8}$, и доказать, что левая часть будет эквивалентна $\frac{3x^2}{8}$

Ну дык, воробьиный прыжок остался. После приведения к общему знаменателю и домножения на сопряжённое (как советовал nnosipov) знаменатель сразу заменяем на эквивалент.
Имхо, дальше уже некуда подсказывать.

-- Ср янв 13, 2021 13:11:46 --

Собственно, это процедура выделения следующего члена (изложенная, кажется, в Фихтенгольце), применительно к конкретной функции.

[yurasmolensk43]

Действительно, задача в несколько действий решается домножением сначала на корень, а затем на сопряженное. Вопрос закрыт.