Деление многочленов

[jesusavgn]

Подскажите, как доказать, что $x^{2008}+x^{196}+x^{15}+x^9-2$ делится на $x^2+1$
Я разложил делитель на $(x-i)(x+i)$ и подставил корни, но не уверен правильно ли так делать, может, есть другой более правильный способ?

[vpb]

jesusavgn в сообщении #1497655 писал(а):

и подставил корни, но не уверен правильно ли так делать,

Это правильно (подумайте, почему; или учебник почитайте), но этого не достаточно.

[Someone]

Я бы сгруппировал члены попарно в три группы (способ группировки тут буквально напрашивается) и попробовал бы доказать, что каждая группа делится на $x^2+1$…

[TOTAL]

Я бы все $x^4$ заменил на $1$.
Или все $x^2$ заменил на $-1$.

[marie-la]

vpb в сообщении #1497678 писал(а):

jesusavgn в сообщении #1497655 писал(а):

и подставил корни, но не уверен правильно ли так делать,

Это правильно (подумайте, почему; или учебник почитайте), но этого не достаточно.

А почему же не достаточно? Если не делится, то есть линейный остаток. Этот остаток при $x=i$ равен $0$ и при $x=-i$ равен 0. Значит нулевой.

[nnosipov]

marie-la в сообщении #1497932 писал(а):

А почему же не достаточно?

А вдруг у многочлена $x^2+1$ оказались бы кратные корни? (Над полем характеристики 2 так и будет, кстати.) Тогда одной подстановки корней мало.

[marie-la]

nnosipov
Но в данном же случае не так. Подставляются конкретно $i$ и $-i$. Вот так как я написала, через линейный остаток - это строго ведь.

[nnosipov]

marie-la в сообщении #1498017 писал(а):

Вот так как я написала, через линейный остаток - это строго ведь.

Да, с этим никто не спорит. Речь идет об общем методе решения подобных задач.