Численное дифференцирование на неравномерных сетках

[TOTAL]

madschumacher в сообщении #1496057 писал(а):

Имеется сетка точек с меняющимися расстояниями между ними, нужно оценить вторые производные функции на этой сетке.

Все вторые производные равны $1$ . Оценил.

[Евгений Машеров]

Эмпирический рабоче-крестьянский способ.
По трём точках проводим полином второго порядка $y=ax^2+bx+c$
Вторая производная равна a.
На отрезке между точками есть две оценки производной - "левая" и "правая", линейно интерполируем для промежуточных точек.
"Радиотехнический способ".
Добавляем точки в количестве, чтобы сетка стала равномерной. Значения можно дублировать, а можно интерполировать линейно. Пропускаем через фильтр, убирая высокочастотную компоненту, появившуюся при интерполяции, затем работаем, как с равномерной сеткой.
"Экономический способ".
Переходим к темпам роста, разделив изменение функции на изменение аргумента, потом к темпам прироста. Полученный ступенчатый ряд сглаживаем.

[Pphantom]

StaticZero в сообщении #1496059 писал(а):

а чем дифференцирование интерполяционного полинома не подходит?

На "сбойных" участках (вроде окрестности точки номер 6 на приведенной картинке) интерполяционный полином будет давать резкие выбросы вверх-вниз, соответственно, вторая производная там будет совершенно нереальной.

А вообще задача численного дифференцирования универсальным и хорошим образом фактически не решается. Надо знать параметры возможной функции и производных, а потом выбирать тот или иной способ, лучше справляющийся с соответствующими особенностями.

[StaticZero]

Pphantom, я б выкидывал такие точки, но тут хорошо бы какую-то "меру патологичности" определить, позволившую бы их удалить.

[Pphantom]

StaticZero в сообщении #1496091 писал(а):

но тут хорошо бы какую-то "меру патологичности" определить, позволившую бы их удалить.

В этом и проблема - надо понимать, насколько такие выбросы естественны. Правда, даже если естественны, все равно чистая интерполяция - это плохо, любое сглаживание будет лучше.

[Евгений Машеров]

А киньте численный пример. Скажем, для приведенной сетки, и чтобы вторую производную можно было получить аналитически, в качестве контроля, "золотого стандарта".