Гомологии бутылки Клейна

[GYNJ]

Добрый день. Пытаюсь посчитать гомологии бутылки Клейна(К). Не уверен что правильно посчитал. Помогите разобраться что не так
Бутылка как симплициальный комплекс состоит из одного нульмерного симплекса $ \mathsf{e}$, трех одномерных $\mathsf{a, b, c}$ и двух двумерных $\mathsf{U, V}$.

Цепной комплекс: $... \overset{ \partial_{3} }{\longrightarrow} \mathbb{Z}^2 \overset{ \partial_{2} }{\longrightarrow} \mathbb{Z}^3 \overset{ \partial_{1} }{\longrightarrow} \mathbb{Z} \overset{ \partial_{0} }{\longrightarrow} 0$, где $ \partial_{0}e=0 , \partial_{1}a=0 , \partial_{1}b=0$, $\partial_{1}c=0$ $\partial_{2}U=-a+c-b$ $\partial_{2}V=a-c-b$ (первый дифференциал равен нулю, т.к у одномерных симплексов начало и конец совапали, а вторые такие в силу выбора ориентации).

$\mathsf{H}_{2}(K)= Ker \partial_{2} \slash lm \partial_{3}=Ker \partial_{2}= \mathbb{Z}^2$ (образ нулевой т.к нет трехмерных симплексов, ядро я так посчитал: $\partial (ka+lb+mc)=k \partial a+l \partial b+ m \partial c=0+0+0 $, где $k,l,m$ целые, тут получилось что любой двумерный симплекс в ноль отображается)

$\mathsf{H}_{1}(K)= Ker \partial_{1} \slash lm \partial_{2}=\mathsf{H} \slash 0 = \mathbb{Z}$ тут образ нулю равен в силу того что ядро из пред. являлось всей группой а ядро нулевое т.к $\partial_{1}$ от любого одномерного симплекса нулю равен (Но это точно неверно, т.к $\pi^{ab}_{1}(K)= \mathbb{Z}*\mathbb{Z}_{2}$)

$\mathsf{H}_{0}(K)= Ker \partial_{0} \slash lm \partial_{1}= \mathbb{Z} \slash 0=\mathbb{Z}$ (тут, по идее, верно т.к нулевые гомологии это зет всегда для линейно-связных пространств)

[vpb]

GYNJ в сообщении #1493472 писал(а):

ут получилось что любой двумерный симплекс в ноль отображается)

Тут у вас получилось, что любой не двумерный, а одномерный симплекс в ноль отображается (что верно). Отсюда и дальнейшие ошибки.

[iou]

А давайте возьмём CW-структуру, происходящую из стандартной склейки квадрата. Там будет всего одна вершина $x$, две одномерные клетки $a, b$ и одна двумерная $U$. Тогда есть комплекс $\mathbb{Z} U \to \mathbb{Z} a \oplus \mathbb{Z}b и \to \mathbb{Z}x.$ Как верно было замечено, нулевые гомологии это $\mathbb{Z}$, поскольку пространство связно (а не обязательно линейно связно). Из этого следует, что правое отображение 0. Левое отображение, как видно из склейки, это $U \to aba^{-1}b=b^2,$ поэтому $H_1 (K) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2$ и вторые гомологии это 0, поскольку левое отображение инъективно.

[vpb]

iou в сообщении #1493635 писал(а):

А давайте возьмём CW-структуру,

Хороший пример, несомненно. Только он будет уместен, когда в курсе, который берет ТС, дойдут до CW-комплексов. А пока (это я внимание ТС обращаю) надо разобраться с простейшим определением гомологий, т.е. через симплексы.

[GYNJ]

Да, спасибо. Я действительно сейчас могу напрямую считать только симплициальные гомологии
по поводу моей ошибки: $\partial_{2}(kU+mV)=k(-a+c-b)+m(a-c-b)=(-k+m)a+(k-m)b-(k+m)c=0 $, откуда $ k=m=0 $ значит ядро тривиально поэтому и вторые гомологии тоже. Я еще ошибся: $ Ker\partial_{1}=Z^{3} $ т.к каждый элемент в ноль переходит. Только теперь не пойму чему $ lm\partial_{2} $ равен

[vpb]

GYNJ в сообщении #1494537 писал(а):

Только теперь не пойму чему $ lm\partial_{2} $ равен

Вам надо посчитать $H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)$ (здесь $C_k(K)$ --- группа $k$-цепей комплекса $K$, $Z_k(K)$ и $B_k(K)$ --- подгруппы $k$-циклов и $k$-границ, соответственно). В нашем случае $Z_1(K)$ равно $C_1(K)$, т.е. $\langle a,b,c\rangle$, свободная абелева группа с образующими $a,b,c$. А $B_1(K)$ --- это подгруппа, порожденная двумя элементами $-a+c-b$ и $a-c-b$. Т.е. Вам надо выяснить, чему изоморфно $\langle a,b,c\rangle/\langle -a+c-b, a-c-b\rangle$ как абстрактная группа.

-- 30.11.2020, 14:07 --

С этой целью можно почитать либо Каргаполов, Мерзляков, Основы теории групп, либо Кострикина 3-й том. И там, и там есть параграф, который так и называется "Конечно-порожденные абелевы группы". Наверное, имхо, проще читать Каргаполова (и читать очень тщательно прямо всё предшествующее указанному параграфу, вообще говоря, не обязательно, хотя и невредно).

[Narn]

(Оффтоп)

Честная триангуляция бутылки Клейна никак не может содержать всего одну вершину. ТС и так работает не с симплициальными комплексами, а с чем-то типа дельта-комплексов Хэтчера. Впрочем, алгебраическая сторона дела от этого по существу не меняется, а жизнь облегчается.

[GYNJ]

Можно записать данную группу как $\left\langle a,b,c | -a+c-b=0 ; a-c-b=0 \right\rangle$ из соотношений можно получить, что $ a=c 2b=0$ тогда эта группа есть $\left\lbrace a, b| 2b=0 \right\rbrace$ т.е $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}_2$, верно ли?

По поводу литературы, я читал данную тему раньше, я так понял вы хотели чтобы я обратил внимание именно на теорема о классификации конечно порожденных абелевых групп, и там задается общий вид таких групп, которому ответ соответствует.

Narn в сообщении #1494828 писал(а):

ТС и так работает не с симплициальными комплексами, а с чем-то типа дельта-комплексов Хэтчера.

Да, именно с ними, они ничем не отличаются, кроме того как для них всегда требуется меньше симплексов (для бутылки Клейна вроде 45 симплексов нужно, для дельта комплекса всего 6)