Уравнение треугольника

[Евгеша]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, с решением одной геометрической задачи:
На плоскости задан треугольник (координаты вершин). Найти его уравнение в виде F(x,y)=0.

P.S. под треугольником понимается область, ограниченная треугольником, включая его самого. Как это записать в виде уравнения до меня не доходит

[AD]

Ответ настоящего математика:
$T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\chi_T(x,y)=0\}$, где

$$\chi_T(x,y)=\begin{cases}1,&\hbox{если $(x,y)\in T$}\cr0,&\hbox{если $(x,y)\notin T$}\end{cases}$$

- характеристическая функция треугольника.

[Xaositect]

Евгеша писал(а):

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, с решением одной геометрической задачи:
На плоскости задан треугольник (координаты вершин). Найти его уравнение в виде F(x,y)=0.

P.S. под треугольником понимается область, ограниченная треугольником, включая его самого. Как это записать в виде уравнения до меня не доходит

Попробуйте написать сначала уравнение полуплоскости в таком виде.
Хинт: $\frac{x+|x|} 2 = \begin{cases} x,\quad x\geq 0\\ 0,\quad x<0\end{cases}$

[AD]

А если серьезно, то идея такая есть (думаю, она больше понравится, чем тот абсолютно верный, но совершенно бесполезный ответ):

Рассмотрим функцию $f(x)=x-|x|$. Она равна нулю при $x>0$ и положительна при $x<0$. Таким образом, множество $\{x:f(x)=0\}=[0,+\infty)$ - полупрямая. Далее, рассмотрим функцию $g(x)=f(x)^2+f(1-x)^2$. Она равна нулю в точности тогда, когда одновременно $f(x)=0$ и $f(1-x)=0$, то есть на отрезке $[0,1]$.

То есть правило: сумма квадратов - это пересечение множеств.

А теперь вам надо записать функцию, задающую полуплоскость, и представить треугольник как пересечение трех полуплоскостей.

Добавлено спустя 22 секунды:

Так, Xaositect меня второй раз за день опережает.

[Brukvalub]

Может быть, так: построить функцию одной переменной, которая равна нулю для неотрицательных аргументов и 1 - для отрицательных (что нетрудно), а затем воспользоваться тем фактом, что результат подстановки координат точки в уравнение прямой дает разные знаки по разные стороны от этой прямой, поэтом сумма трех значений построенной функции, в которую каждый раз правильно подставлены уравнения сторон, и даст нужный результат.

Добавлено спустя 59 секунд:

А меня уже двое опередили - я АУТСАЙТЕР!

[AD]

Ну хорошо, в целях реабилитации - вот такая вообще мегаидея.

Встанем в какую-нибудь точку плоскости - и посмотрим сначала на одну вершину, потом на другую, потом на третью, и потом опять на первую. На сколько градусов мы при этом повернули голову? Если на 360 - значит, мы внутри треугольника, если на 0 - то снаружи. На границе - сами сообразите.

Этот метод, в отличие от предыдущего, обобщается на произвольные области. Для этого надо контурный интеграл считать по границе области.

Добавлено спустя 2 минуты 41 секунду:

В моем втором сообщении есть баг, ну да ладно.

Добавлено спустя 4 минуты 2 секунды:

AD в сообщении #149326 легкомысленно писал(а):

обобщается на произвольные области.

Ну не совсем на произвольные, конечно ...

[Brukvalub]

Тогда уж взять центр z вписанной в тр-к Г окружности и рассмотреть

\[ \oint\limits_\Gamma {\frac{1}{{\varsigma - z}}} d\varsigma - 2\pi i = 0 \]

( с точностью до сторон тр-ка).

[Xaositect]

Brukvalub
Ну, то, что Вы написали, не всегда правда.

[Brukvalub]

Я чуть-чуть поправился, если и теперь - не всегда, то прошу Вас пояснить мне мою ошибку.

[ewert]

Евгеша писал(а):

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, с решением одной геометрической задачи:
На плоскости задан треугольник (координаты вершин). Найти его уравнение в виде F(x,y)=0.

P.S. под треугольником понимается область, ограниченная треугольником, включая его самого. Как это записать в виде уравнения до меня не доходит

(занудно) область (в отличие от её границы) не может быть задана уравнением, разве что неравенствами, уточните вопрос

[Xaositect]

Brukvalub писал(а):

Я чуть-чуть поправился, если и теперь - не всегда, то прошу Вас пояснить мне мою ошибку.

Теперь верно

[AD]

ewert в сообщении #149339 писал(а):

(занудно) область (в отличие от её границы) не может быть задана уравнением, разве что неравенствами, уточните вопрос

ewert, ваше утверждение неверно, и во всех содержательных сообщениях, предшествующих цитируемому, содержатся контрпримеры к нему.

[ewert]

хорошо, поправлюсь: область, как правило, не может быть задана уравнением, и данный треугольник -- никакое не исключение

[AD]

ewert в сообщении #149360 писал(а):

треугольник -- никакое не исключение

ewert, ну вы чяво вообще? Вот только что задали треугольник уравнениями тремя способами. Сплошной, не границу.

[VAL]

Евгеша писал(а):

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, с решением одной геометрической задачи:
На плоскости задан треугольник (координаты вершин). Найти его уравнение в виде F(x,y)=0.

P.S. под треугольником понимается область, ограниченная треугольником, включая его самого. Как это записать в виде уравнения до меня не доходит

Пусть, например, $A(1;2), B(2;5), C(5;3)$.
Тогда соответветствующее уравнение:

$$sgn(sgn(3x-y-1)+0.5)+sgn(sgn(-x+4y-7)+0.5)+sgn(sgn(-2x-3y+19)+0.5)=3$$

.

В общем виде можно сделать аналогично. Но там громоздко будет.