2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:39 
Появился вопрос, разве $a^{-\infty}=\frac{1}{a^{\infty}}$? Ведь $-\infty \ne -1\cdot\infty$, т.к. это всего лишь значки...

 
 
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:40 
Ну, почему бы и нет? Почему бы два не имеющих смысла набора значков не соединить знаком равенства?

 
 
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:45 
Я и хотел об этом спросить.

 
 
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:47 
Ну а я, собственно, хотел на это ответить.

 
 
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:53 
Эээ, просто я видимо где-то пропустил это. Спасибо.

 
 
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение01.11.2020, 22:54 
Аватара пользователя
А что если $a=0/0$?

 
 
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение02.11.2020, 04:36 
На всякий случай: $\infty$ — это не число такое. Это значок, используемый в нескольких контекстах, которые имеют различное математическое определение. как, например, $i$. Оно встречается контекстах, например, $\sin$, $\lim$, $2+3i$. Контексты имеют некий различный смысл. Так и $\infty$. Вот только в ваши выражения ни один из осмысленных контекстов не входит.

 
 
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение02.11.2020, 08:23 
atanda в сообщении #1490357 писал(а):
Не Ведь $-\infty \ne -1\cdot\infty$, т.к. это всего лишь значки...

Не равняется только потому, что Вы забыли приписать знак "плюс" правой бесконечности. А так -- равняется. Это одна из тех теорем, которые обычно в явном виде не выписывают, хотя все прекрасно осознают. Если один из сомножителей стремится к отрицательному числу, а другой -- к плюс бесконечности, то произведение стремится к минус бесконечности, естественно.

 
 
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение02.11.2020, 09:48 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

$\infty$ это не существительное, это глагол, поскольку описывает не предмет, а действие - устремление какой-то величины ко всё большим значениям без ограничений. Может быть, правильнее считать её герундием, сиречь отглагольным существительным, но если обращаться с нею, как с числом, получается полная герунда...

 
 
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение02.11.2020, 22:09 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1490395 писал(а):
$\infty$ это не существительное, это глагол, поскольку описывает не предмет, а действие - устремление какой-то величины ко всё большим значениям без ограничений.
It depends. Например, когда дополняют числовую прямую точкой $+\infty$ ради рассмотрения множеств бесконечной меры, то вполне существительное. И даже некоторые арифметические операции над ним определяют (но не все).

 
 
 
 Re: -1*inf=-inf ?
Сообщение02.11.2020, 23:48 
Зря последний пост в оффтопе, потому что это первое упоминание чисто алгебраического доопределения операций на новые объекты, а такое определение стоило бы считать более важным, чем «предельное», потому что оно требует только алгебры или например структуры упорядоченного поля множества. Так как в упорядочнном поле (да и кольце, но обычно я слышал только про поля) справедливо утверждение $x > 0 \wedge y > 0 \Rightarrow xy > 0$, часто берущееся аксиомой для определения такой структуры, и никуда не деться от его следствия $x > 0 \wedge y < 0 \Rightarrow xy < 0$, то при доопределении умножения на $\pm\infty$ мы можем такое утверждение захотеть сохранить, и это нам удастся (то есть удастся единственным образом), покуда второй сомножитель не будет нулём. В доопределении же сложения нам поможет $x > y \Rightarrow x + z > y + z$: захотев его выполнения для $x = +\infty$ и конечных $y$, мы удовлетворимся лишь взяв $+\infty + z = +\infty$, и т. д.. Никакой топологии, только порядок и алгебра.

Аналогично при замыкании упорядоченного кольца в колечко добавлением одной беззнаковой $\infty$ мы можем доопределить $1/\infty = 0$ и наоборот. Хотя лучше будет получить это автоматически, получив такое колечко конструкцией проективного пространства (но тут надо будет брать поле).

Ещё так же можно добавлять бесконечный элемент к натуральным числам, но это будет уже не так хорошо, потому что он будет соперничать с нулём за разложение на простые множители (все простые в бесконечных степенях).

Это всё более или менее естественные конструкции, аналогичные чисто алгебраическим пополнениям типа поля частных кольца, просто используется и порядок. Если наша алгебраическая структура имеет ещё какую-то структуру, закономерно кому-нибудь захочется пополнять и с её использованием; и не всегда это будет топология. Но видимо так как математический анализ изучается так рано, она лезет всем на ум без всякой фильтрации.

(Оффтоп)

И в том числе настаивает на открытости вопроса для случая $0^0 = 1$. Хотя если мы забываем о топологии, внезапно естественность такого определения становится намного легче увидеть.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group