Предельные точки множества рациональных чисел

[Jiggy]

Всех приветствую. Столкнулся с банальной задачей, на которую не могу дать полный и строгий вывод.

Рассмотрим последовательность всех рациональных чисел без повторений на сегменте $[0; 1]$. Нужно доказать, что у такой последовательности бесконечно много предельных точек.

Обратился к учебнику по анализу "Ильин, Позняк", в котором указан способ построения такой последовательности, а именно: формировать группы и выписать их подряд в последовательность.
Группы формируются следующим образом:
1) 0, 1$
2) 1/2$
3) 1/3, 2/3$
...
$n$) Все несократимые рациональные дроби заданного сегмента со знаменателем $n$

Далее эти группы выписываются подряд в последовательность. Честно говоря, не очевидно, как отсюда показать бесконечность количества предельных точек.
Возможно, это очевидно. В таком случае прошу содействия.

В свою очередь, я попробовал мыслить другим способом. Исходя из определения предельной точки, мы понимаем, что в любой окрестности этой точки лежит бесконечное число точек последовательности. Так, рассмотрим любую окрестность любой рациональной точки сегмента. В этой окрестности лежит бесконечно количество рациональных чисел. Это следует из того, что для любых неравных вещественных чисел найдется рациональное, которое будет лежать между исходными вещественными, а так как рациональное число - частный случай вещественного, то и между этим рациональным и двумя исходными вещественными найдутся также рациональные числа. Итого получаем, что между любыми двумя неравными вещественными числами найдется бесконечное количество рациональных. Доказывается это построением рационального числа определенного вида. Если кому-то будет актуально, то готов оформить сюда.

Из этого в целом должен следовать ответ на исходный вопрос. Но хочется понять логику в построении последовательности на базе учебника. Может быть, там имеется в виду, что для каждой точки можно выделить подпоследовательность, cходящуюуся к этой точке?

Прошу направить к решению вопроса.

[thething]

Jiggy в сообщении #1488988 писал(а):

Может быть, там имеется в виду, что для каждой точки можно выделить подпоследовательность, cходящуюуся к этой точке?

Да, там про это. А насчёт самой подпоследовательности: рассмотрите произвольное иррациональное число, а в качестве подпоследовательности возьмите конечные десятичные приближения к нему.

[Andrey A]

Jiggy в сообщении #1488988 писал(а):

Рассмотрим последовательность всех рациональных чисел без повторений на сегменте $[0; 1]$.

Это вряд ли получится. Можно рассматривать последовательности дробей Фарея, но к вопросу это не относится. Если речь о пределах, что-то должно быть известно и о рациональных приближениях. Например то, что любая иррациональная точка единственным образом раскладывается в непрерывную дробь и является пределом последовательности подходящих дробей этого разложения. Остается доказать, что на интервале $(0,1)$ бесконечно много иррациональных точек. Например, если $\pi =3,7,15,1,292,...,$ то $1/\pi =0,3,7,15,1,292,...$ То же и для $b$-ичных разложений.

[gris]

Мне что-то непонятно: а чего заговорили об иррациональных числах? На сегменте попврно различных рациональных чисел бесконечно много и каждое является предельной точкой указанной последовательности. Через подпоследовательности несложно. Если через окрестности, то надо лишь строго доказать, что для каждого иррационального числа существует меньшее его рациональное. Или это другое?

[Andrey A]

gris в сообщении #1489028 писал(а):

... непонятно: а чего заговорили об иррациональных числах?

Можно и любую точку назначить черепахой, убегающей на месте от ленивого Ахиллеса (не догоню, так согреюсь ;) Если бы от этого стало понятней.

[Jiggy]

Спасибо за интерес к задаче. Но тем не менее хочется понять, как выделять подпоследовательности в исходной последовательности, которая формировалась на базе предложенного подхода (формирование групп и выписывание их подряд). Пока, к сожалению, не смог это осознать. Если кто-то знает, как это делать, то прошу направить в этом направлении. За остальной фидбэк всем спасибо, очень интересно.

[alisa-lebovski]

Jiggy в сообщении #1489372 писал(а):

Но тем не менее хочется понять, как выделять подпоследовательности в исходной последовательности, которая формировалась на базе предложенного подхода (формирование групп и выписывание их подряд).

Если у Вас есть какая-то заданная точка, то в каждой группе можно взять точку, ближайшую к ней, так и получится нужная подпоследовательность.

[Jiggy]

alisa-lebovski
Да, спасибо. Уже к такому подходу дошел своим умом.
Всем спасибо за содействие.