Свойства сравнения функций

[mathinprivate]

Здравствуйте! Столкнулся с проблемой при доказательстве одной из теорем об арифметических действиях при сравнении функций: для любого $k\neq0$ $f(x)=o(g(x)) \Rightarrow f(x)=o(kg(x)), kf(x)=o(g(x))$ и $f(x)=O(g(x)) \Rightarrow f(x)=O(kg(x)), kf(x)=O(g(x))$.
Доказать для случая, когда функция f является бесконечно малой по сравнению с g у меня получилось:
$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0: \forall x 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)|\leqslant \varepsilon |k||g(x)|=\varepsilon |kg(x)|$. Но вот что делать для просто ограниченной по сравнению с g функцией я не понимаю, потому как если $|k|<1$, то условие $f(x)=O(g(x)),x\to x_0$ совсем не гарантирует, что $|f(x)|\leqslant c|g(x)| \Rightarrow |f(x)|\leqslant c|kg(x)|$. Помогите разобраться, пожалуйста!

[kotenok gav]

mathinprivate в сообщении #1487571 писал(а):

$|f(x)|\leqslant c|g(x)| \Rightarrow |f(x)|\leqslant c|kg(x)|$

$|f(x)|\leqslant c|g(x)| \Rightarrow |f(x)|\leqslant \dfrac c{|k|}|kg(x)|$