Граничное условие для давления

[timn]

Пусть нужно численно решить задачу об обтекании некоего тела (недеформируемого) вязкой жидкостью
при малых числах Рейнольдса (типа формулы Стокса).

Каковы граничные условия для уравнения Навье-Стокса?
для скорости понятно - на границе тела прилапание. Давления на бесконечности берем равным нулю,
а вот каково условие для давления на поверхности тела?


ЗЫ только давайте, пожалуйста, не прибегать к "соображениям симметрии" - тело ж не обязательно шарик

[Pyotr_]

timn писал(а):

Пусть нужно численно решить задачу об обтекании некоего тела (недеформируемого) вязкой жидкостью
при малых числах Рейнольдса (типа формулы Стокса).

Каковы граничные условия для уравнения Навье-Стокса?
для скорости понятно - на границе тела прилапание. Давления на бесконечности берем равным нулю,
а вот каково условие для давления на поверхности тела?


ЗЫ только давайте, пожалуйста, не прибегать к "соображениям симметрии" - тело ж не обязательно шарик

Если в схеме, которую Вы используете, необходимо задавать давление на поверхности обтекаемого тела - это неудачная схема. По физике дела давление должно выработаться таким, чтобы выполнялось уравнение неразрывности. Существуют схемы, основанные на разнесенной сетке (staggered grid), где давление на поверхности тела задавать не нужно. Для стационарной задачи хорошие результаты дает подход, основанный на т. н. искусственной сжимаемости, когда в уравнение неразрывности добавляется член a*dp/dt.

[Munin]

Я полагаю, что граничные условия будут другого типа, не в виде заданного давления, а давление-то как раз будет получаться из решения уравнения. К сожалению, я не в курсе классификации граничных условий и задач для Навье-Стокса.

[Парджеттер]

timn в сообщении #148757 писал(а):

а вот каково условие для давления на поверхности тела?

Хех, ну профиль давления на поверхности тела и будет. Только обычно он из решения такой задачи и находится. Но если Вы его знаете...

[Munin]

Парджеттер
А как классифицируются граничные условия для Навье-Стокса, и где про них почитать?

[timn]

Парджеттер писал(а):

Хех, ну профиль давления на поверхности тела и будет. Только обычно он из решения такой задачи и находится. Но если Вы его знаете...

Согласен!
Но когда я попытался решить численно в пакете FlexPDE плоскую задачу об обтекании круга и не задал никакого условия на границе круга, кроме как условия прилипания, FlexPDE выругался, мол, давай какое-нибудь условие на p (давление). И что еще загадочнее, в задачах гидродинамики, идущих в файлах с примерами к этому пакетах используют условие

$$ \frac{{\partial p}} {{\partial n}} = 0 $$

... но есть ли в этом физический смысл?...

[Pyotr_]

timn писал(а):

Парджеттер писал(а):

Хех, ну профиль давления на поверхности тела и будет. Только обычно он из решения такой задачи и находится. Но если Вы его знаете...

Согласен!
Но когда я попытался решить численно в пакете FlexPDE плоскую задачу об обтекании круга и не задал никакого условия на границе круга, кроме как условия прилипания, FlexPDE выругался, мол, давай какое-нибудь условие на p (давление). И что еще загадочнее, в задачах гидродинамики, идущих в файлах с примерами к этому пакетах используют условие

$$ \frac{{\partial p}} {{\partial n}} = 0 $$

... но есть ли в этом физический смысл?...

Физический смысл очевиден - так ведет себя давление в приближении пограничного слоя, другое дело, что для полных уравнений Навье-Стокса это условие может несколько исказить решение.

[timn]

Pyotr_ писал(а):

Физический смысл очевиден - так ведет себя давление в приближении пограничного слоя, другое дело, что для полных уравнений Навье-Стокса это условие может несколько исказить решение.

При том, имхо, может исказить принципиально.
Если скорости "малы" и мы интересуемся стационарным решением, то уравнение движения будет

$$ \eta \cdot \Delta \vec v - \vec \nabla p = 0 $$

.
Но если жидкость несжимаема (

$$ \operatorname{div} \vec v = 0 $$

), то, взяв

$$ \operatorname{div}$$

от уравнения движения, получим для давления

$$ \Delta p = 0 $$

.
Давление на бесконечности можно выбрать за нуль. Но что ж тогда получается? Если взять любое однородное условие для давления на поверхности тела, то решением уравнения Лапласа будет

$$p = 0$$

В то же время при выводе той же формулы Стокса оказываестя, что давление не то что не есть константой, а равно

$$ p = - \frac{3} {2}\eta \cdot u_\infty \cdot \frac{{\cos \theta }} {{r^2 }} \cdot R $$

Так как же быть?

[Pyotr_]

timn писал(а):

...Так как же быть?

Можно перейти к переменным "функция тока - вихрь", в которых давление вообще выпадает из системы уравнений.

[timn]

Pyotr_ писал(а):

Можно перейти к переменным "функция тока - вихрь", в которых давление вообще выпадает из системы уравнений.

Но при этом повысится порядок уравнения - значит понадобится больше условий на каждой поверхности.
Если не ошибаюсь, получится

$$ \Delta \Delta \psi = 0 $$

? (если

$$ v_x = \frac{{\partial \psi }} {{\partial y}},v_y = - \frac{{\partial \psi }} {{\partial x}} $$

и взяв ротор от уравнения движения
с целью исключения дваления)
Или?...

[Pyotr_]

Если Вы пользуетесь пакетом и он требует какое-то условие для давления на поверхности, то выбор у Вас небольшой - попробуйте посчитать одно и то же течение с условиями dp/dn=0 и d^2p/dn^2=0 и сравните результаты - возможно, разница двух решений будет приемлемой.

[Zai]

timn писал(а):

В то же время при выводе той же формулы Стокса оказываестя, что давление не то что не есть константой, а равно

$$ p = - \frac{3} {2}\eta \cdot u_\infty \cdot \frac{{\cos \theta }} {{r^2 }} \cdot R $$

Так как же быть? :?

Не могли бы Вы дать ссылку на предложенное Вами соотношение для давления. Как из этого соотношения получить силу на теле?

[Александр Т.]

Zai писал(а):

timn писал(а):

В то же время при выводе той же формулы Стокса оказываестя, что давление не то что не есть константой, а равно

$$ p = - \frac{3} {2}\eta \cdot u_\infty \cdot \frac{{\cos \theta }} {{r^2 }} \cdot R $$

Не могли бы Вы дать ссылку на предложенное Вами соотношение для давления.

Например, Ландау, Лифшиц, Гидродинамика: формула (20,12) (стр.92 в издании 1986г.)

Zai писал(а):

Как из этого соотношения получить силу на теле?

Чтобы получить полную силу, действующую на тело, кроме давления нужно еще знать тензор вязких напряжений.

[timn]

Pyotr_ писал(а):

Если Вы пользуетесь пакетом и он требует какое-то условие для давления на поверхности, то выбор у Вас небольшой - попробуйте посчитать одно и то же течение с условиями dp/dn=0 и d^2p/dn^2=0 и сравните результаты - возможно, разница двух решений будет приемлемой.

Не могли бы Вы уточнить, что выражает условие d^2p/dn^2=0 ?

[Pyotr_]

timn писал(а):

Pyotr_ писал(а):

Если Вы пользуетесь пакетом и он требует какое-то условие для давления на поверхности, то выбор у Вас небольшой - попробуйте посчитать одно и то же течение с условиями dp/dn=0 и d^2p/dn^2=0 и сравните результаты - возможно, разница двух решений будет приемлемой.

Не могли бы Вы уточнить, что выражает условие d^2p/dn^2=0 ?

Обычная вторая производная.