Исследовать ряд на равномерную сходимость

[artempalkin]

Это одно из заданий 2-го курса ВМК. Ряд такой:

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sin ^2 \left(\frac 1 {1+kx}\right),$ $x \in (0;\infty)$

Долго я думал, потому что предполагал, что ряд сходится равномерно. Но похоже, что нет. Предположим, что сходится равномерно, тогда верен критерий Коши для любого $\varepsilon$ и начиная с некоторого $N$ и для любого $p$ и для любого $x \in (0;\infty)$:

$\left|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\sin ^2 \left(\frac 1 {1+kx}\right)\right|<\varepsilon$

Но на самом деле сумма больше своего первого слагаемого (все слагаемые тут больше нуля):

$\left|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\sin ^2 \left(\frac 1 {1+kx}\right)\right|>\sin ^2 \left(\frac 1 {1+(n+1)x}\right)$

И далее, если я возьму какой-нибудь очень малый $x$, например что-то вроде $x=\frac 1 {n+1}$, то

$\sin ^2 \left(\frac 1 {1+(n+1)x}\right)=\sin ^2 \left(\frac 1 {1+1}\right)=\sin ^2 \frac 12$,

что больше всяких малых значений эпсилон.

Вроде ошибки я не вижу, но все же полной уверенности нет. Подскажите, правильно я действую? Нет ли более простого способа?

[Otta]

Необходимое условие равномерной сходимости ряда.
Раз Вы ограничиваетесь одним слагаемым в критерии Коши, то фактически это использование необходимого условия.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1487243 писал(а):

Необходимое условие равномерной сходимости ряда.

А какое необходимое условие равномерной сходимости ряда? Не слышал его формулировки

[Otta]

Равномерная сходимость к нулю последовательности общих членов.
Легко догадаться )
Из крит. Коши следует моментально.

[bot]

Коряво, но верно. А что такое ВМК?

[Евгений Машеров]

А тут нельзя рассмотреть только сумму ряда, включающего в себя члены начиная с такого n, что $\sin^2(\frac 1 {1+nx})<\frac 1 {(1+nx)^2}$?

[artempalkin]

Otta в сообщении #1487248 писал(а):

Равномерная сходимость к нулю последовательности общих членов.
Легко догадаться )
Из крит. Коши следует моментально.

О, ну да, логично :)

[Otta]

Евгений Машеров в сообщении #1487250 писал(а):

А тут нельзя рассмотреть только сумму ряда, включающего в себя члены начиная с такого n, что $\sin^2(\frac 1 {1+nx})<\frac 1 {(1+nx)^2}$?

Евгений Машеров, а зачем? Оценка сверху для доказательства отсутствия равномерной сходимости ничего не даст.

bot в сообщении #1487249 писал(а):

А что такое ВМК?

ВМиК МГУ, я полагаю.

[artempalkin]

bot в сообщении #1487249 писал(а):

Коряво, но верно.

А как не коряво, можете уточнить?

Евгений Машеров в сообщении #1487250 писал(а):

А тут нельзя рассмотреть только сумму ряда, включающего в себя члены начиная с такого n, что $\sin^2(\frac 1 {1+nx})<\frac 1 {(1+nx)^2}$?

Это неравенство всегда верно, насколько я понимаю, в нашем случае.

Если его использовать, как дальше доказывать отсутствие равномерной сходимости?

[Otta]

artempalkin в сообщении #1487261 писал(а):

Если его использовать, как дальше доказывать отсутствие равномерной сходимости?

Никак. Не надо его использовать.

[Padawan]

artempalkin
Вы признак Вейерштрасса знаете? Так при попытке его применить сразу бы увидели, что $\sup\limits_{x\in X}|a_n(x)|\not\to 0$

[artempalkin]

Otta в сообщении #1487276 писал(а):

Никак. Не надо его использовать.

Ага, мажорирование для доказательства "не сходимости" не подойдет

[Евгений Машеров]

Чего-то мне показалось, что как раз сходимость есть. Видимо, зря...

[svv]

Евгений Машеров
Сходимость есть, вопрос был о равномерной сходимости.

[novichok2018]

Интересно посмотреть на график суммы.