ЛП: исключить аксиому 1a=a

[artempalkin]

В задачнике Ким прочитал интересную задачу, из которой сделал вывод, что одна из аксиом линейного пространства ($1\cdot a=a$) равносильна (при присутствующих других аксиомах) утверждению, что $\forall a\in V \quad \exists b\in V \quad \exists \alpha \in P :a=\alpha b$.

Задумался над вопросом, можно ли придумать множество, имеющее те же законы композиции, удовлетворяющие тем же аксиомам, что и ЛП, кроме указанной.

Вроде бы мне это удалось. Представим множество, состоящее из любого числа элементов $x_i$ и элемента $\theta$ такое, что определены два действия (или отображения, я не буду идеально математически строго оформлять для простоты ):

1) $a+b=c$ по следующим законам: $a+b=\theta$, если $a,b\neq \theta$; $a+\theta=\theta +a=a$
2) $\alpha a=\theta$ для $\forall a \in V,\forall \alpha \in P$

Насколько я могу судить, все остальные аксиомы будут выполняться, кроме аксиомы про $1$. И на самом деле, далеко не каждый элемент будет представим в виде $a=\alpha b$.

Вполне возможно, это вообще единственное множество, которое обладает таким свойством (число элементов может быть произвольным, конечно). Вопрос: так ли это? Можно ли придумать другие такие? Правилен ли мой пример?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1485464 писал(а):

можно ли придумать множество, имеющее те же законы композиции, удовлетворяющие тем же аксиомам, что и ЛП, кроме указанной

Можно.

artempalkin в сообщении #1485464 писал(а):

все остальные аксиомы будут выполняться, кроме аксиомы про $1$

Нет, если кроме $\theta$ есть еще хотя бы два элемента - то ассоциативность не выполнена: $(a + b) + b = \theta + b = b$, но $a + (b + b) = a + \theta = a$.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1485467 писал(а):

Нет, если кроме $\theta$ есть еще хотя бы два элемента - то ассоциативность не выполнена: $(a + b) + b = \theta + b = b$, но $a + (b + b) = a + \theta = a$.

Да, я как раз ассоциативность проверил, но что-то не сработало в голове и не заметил проблемы... Получается, мое множество будет примером, если в нем есть кроме $\theta$ только еще один элемент. Может, возможно как-то доработать напильником законы композиции, чтобы стало работать? Что-нибудь вроде, что если элементы разные, то $a+b=\theta$, а если одинаковые, то $a+a=a$... тоже не подходит...

-- 02.10.2020, 12:41 --

Или, например, взять любую группу, и дополнить ее законом композиции $\alpha a=\theta$ ($\theta$ в данном случае единичный элемент группы).

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1485468 писал(а):

Или, например, взять любую группу, и дополнить ее законом композиции $\alpha a=\theta$

Вот так уже сработает. Собственно векторное пространство - это абелева группа, элементы которой умеем умножать на скаляры. Сложение элементов можно и не трогать.

[artempalkin]

mihaild
Ну да, то есть любая группа, с введенной операцией "умножения на число", такой, что $\alpha a=e$ для любых элементов группы и любых чисел, будет искомым "линейным пространством" без аксиомы $1\cdot a=a$.

Интересно, не будут ли такие множества единственным возможным примером? Может быть, можно так хитро придумать операцию умножения на число, что все аксиомы будут соблюдаться, кроме этой. Или же, я подозреваю, сделать эту операцию тривиальной ($\alpha a=e$) - это единственный способ.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1485483 писал(а):

Интересно, не будут ли такие множества единственным возможным примером?

Возьмите в качестве группы прямую сумму двух групп. Ну например обычную плоскость $\mathbb R^2$ - можно ли как-то ввести умножение на скаляр, чтобы $1 \cdot a = a$ не было выполнено, но умножение на скаляр не было тривиальным?

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1485484 писал(а):

Возьмите в качестве группы прямую сумму двух групп. Ну например обычную плоскость $\mathbb R^2$ - можно ли как-то ввести умножение на скаляр, чтобы $1 \cdot a = a$ не было выполнено, но умножение на скаляр не было тривиальным?

Если я правильно понимаю намеки, то, поскольку каждый элемент этого пространства разложим в сумму элементов одномерных пространств, мы можем определить на одном одномерном пространстве $\alpha a$ как обычно, а на другом $\alpha a=\theta$. Любой вектор, являющийся суммой неких двух векторов этих подпространств будет умножать на число вот так: $\alpha a=\alpha (a_1+a_2)=\alpha a_1$.

Умножение на число будет вести себя в таком случае, как проецирование с удлинением, и по идее все аксиомы должны выполняться (но не для всех векторов, конечно, $1\cdot a=a$).

Правильно я намек понял?

[mihaild]

Да, правильно. И это понятно как обобщить: возьмем наше пространство, возьмем произвольный линейный оператор $A$ на нём, и объявим, что умножение на скаляр $\alpha$ - это применение оператора $\alpha A$. (какой оператор будет соответствовать обычному умножению? а умножению "всё в $0$"?)

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1485504 писал(а):

какой оператор будет соответствовать обычному умножению? а умножению "всё в $0$"?

Обычному умножению - тождественный, а "всё в $0$" - нулевой.

При этом, если мы хотим конструктивно построить такое пространство, мы можем взять ЛП с обычным умножением на числа, задать там оператор с помощью базисов (матрицы), и дальше определить новое умножение на числа. В два шага, но ничему не противоречит.

Да, глубоко. И если наш "произвольный" оператор вырожден, то, как мы говорили, не у любого вектора $a$ найдется такой вектор $b$ и число $\alpha$, что $a=\alpha b$.

Спасибо большое, я все понял :)

[novichok2018]

Из аксиом линейного пространства можно не только эту исключить. Например, можно исключить коммутативность.

[artempalkin]

novichok2018 в сообщении #1485555 писал(а):

Из аксиом линейного пространства можно не только эту исключить. Например, можно исключить коммутативность.

Ну да. Вообще, наверное, любую можно исключить. Если рассмотреть все множество пространств с теми или иными "включенными" аксиомами, то получится $2^8=256$ различных пространств (скорее множеств).

Если говорить о вашей ситуации, то, как я понимаю, подойдет группа невырожденных матриц по умножению с операцией умножения на число.

[novichok2018]

Я имел в виду другой смысл слова исключить - аксиома коммутативности следует из других. Вообще, подобрать минимальное количество естественных аксиом - это сложная задача. Для линейного пространства были варианты решения, когда их кажется остаётся всего пять. Тут дело в разумности, формально, понятно, можно принять за одну аксиому коньюнкцию всех стандартных - будет всего одна.

[ewert]

Но далеко ведь не всегда естественность аксиом хорошо согласуется с их минимальностью. Например, норму вектора традиционно задают тройкой аксиом (каких именно -- уже дело вкуса). Хотя это и избыточно.

[Someone]

Список аксиом может быть не минимальным из соображений удобства. В частности, в случае линейных пространств стандартный список аксиом удобен (для целей обучения), хотя и не минимален. Его сокращение заставит тратить учебное время на вывод свойств, исключённых из списка аксиом.

[arseniiv]

novichok2018 в сообщении #1485574 писал(а):

Для линейного пространства были варианты решения, когда их кажется остаётся всего пять. Тут дело в разумности, формально, понятно, можно принять за одну аксиому коньюнкцию всех стандартных - будет всего одна.

По-момему вот более естественны две «внешние» аксиомы: (1) $V$ — абелева группа и (2) есть морфизм колец $K\to \operatorname{End}(V)$. Что неудивительно, но полезно, это определяет и модуль над кольцом, если вместо поля $K$ взять кольцо (и модуль обратной праволевости получим, взяв обратное кольцо). И не обязательно как-то раскладывать на что-то более простое — вместо этого можно пользоваться результатами об абелевых группах, кольцах, действиях и т. д., если скажем нам интересна будет теория моделей (или для чего там может быть ещё нужно подстраивать аксиомы).