Кратные корни при отбражении комплексного переменного

[outmind]

Не вижу всегда ли кратные корни полинома соответствуют стягивающимся петлям при отображении комплескного переменного.
Читал про геометрического доказательство "основной теоремы алгебры".
В книге Понтрягина нашел что кратные корни возникают при стягивании петель на образе комплексного переменного к началу координат.
Сопряженные корни возникают при пересечении начала координат пересеченими кривой.
Например, $f(z)=(z+2)(z-I)(z+I)$:


Вообще, всегда ли кратные корни в полиномах с комплексными коэффициентами соответствуют стягиваемым петлям? С вещественными коэффициентами?
Если ответ не совсем простой, можете ли дать ссылку где почитать (eng,rus,french)?
Мне кажется что это можно понять если подумать о 3-мерном представлении образа. Но может и просто кажется.

Lia: формулы обязательно надо заключать в знаки долларов. Пока исправила.

[outmind]

@Lia Спасибо! Я так и сделал сначала, но потом увидел кнопку "math" в редакторе.

Странно, на math.SE тоже тишина.

[Brukvalub]

outmind в сообщении #1484383 писал(а):

Странно, на math.SE тоже тишина.

Ничего странного. Вряд ли кто-то понимает вот эту фразу:

outmind в сообщении #1483954 писал(а):

Не вижу всегда ли кратные корни полинома соответствуют стягивающимся петлям при отображении комплескного переменного.
Читал про геометрического доказательство "основной теоремы алгебры".
В книге Понтрягина нашел что кратные корни возникают при стягивании петель на образе комплексного переменного к началу координат.

Кто куда что стягивает? Как возникают петли? Загадка...

[outmind]

Brukvalub в сообщении #1484519 писал(а):

Ничего странного. Вряд ли кто-то понимает вот эту фразу:

outmind в сообщении #1483954 писал(а):

Не вижу всегда ли кратные корни полинома соответствуют стягивающимся петлям при отображении комплескного переменного.
Читал про геометрического доказательство "основной теоремы алгебры".
В книге Понтрягина нашел что кратные корни возникают при стягивании петель на образе комплексного переменного к началу координат.

Кто куда что стягивает? Как возникают петли? Загадка...

Изините - пытался улучшить формулировку вопроса, но кнопка редактирования исчезла.
А Вы знаете "геометрическое" (/топологическое) доказательство основной теоремы алгебры?
То, которое использует коэффициент зацепления?
Там речь про то, что каждому корню соответствует пересечение кривой на плоскости значения (зависимого комплексного переменного) начала координат при стягивании.
И вопрос про то, как себя ведет это кривая во время стягивания при кратных корнях.
Вообще, кто еще помнит начала комплексного анализа это все, наверное, понимают.
Но почему-то в ~7 книгах классических, где смотрел это не разбирается. А самому доходить - неясно это простой вопрос или нет.

Тему вопрос тоже бы переписать "вопрос по основной теореме алг.", но уже не дает изменить.

[ewert]

outmind в сообщении #1484521 писал(а):

каждому корню соответствует пересечение кривой на плоскости значения (зависимого комплексного переменного) начала координат при стягивании.

Что такое стягивание -- непонятно. И какой кривой?

В нормальных книжках по ТФКП ничего такого не говорят. И уж тем более не доказывают теорему Гаусса столь экзотично. Тем более что она вообще в две строчки следует из принципа аргумента. И ещё тем более что есть доказательство не напмного длиннее, не требующее вообще никакого комплексного анализа.

[outmind]

ewert в сообщении #1484556 писал(а):

outmind в сообщении #1484521 писал(а):

каждому корню соответствует пересечение кривой на плоскости значения (зависимого комплексного переменного) начала координат при стягивании.

Что такое стягивание -- непонятно. И какой кривой?

В нормальных книжках по ТФКП ничего такого не говорят. И уж тем более не доказывают теорему Гаусса столь экзотично. Тем более что она вообще в две строчки следует из принципа аргумента. И ещё тем более что есть доказательство не напмного длиннее, не требующее вообще никакого комплексного анализа.

Спасибо за ваш комментарий. Да - в книгах ТФКП этого док-ва не видел.
Это первое доказательство, например, из этой книги:
Тихомиров В. М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50—70.
http://www.mccme.ru/free-books/matpros/i2050070.pdf.zip

Там много доказательств, но мне сейчас интересно именно это.

[outmind]

Если честно дело вообще не в теореме и не доказательстве, а в методе. Который я пытаюсь понять.

[outmind]

: ( Пришлось самому думать.
Сопряженные гарантированно дают пересечение, т.к. можно рассмотреть по четным/нечетным степеням комплексного полинома как это обычно делается. Где четные дают одинаковую вещественную часть, а нечетные симметричную относительно оси абцисс мнимую.
Про k-кратные вещественные становится понятно, если рассмотреть маленькие окрестности (когда радиус исходной окружности не сильно отличается от модуля корня), в которых точка обегает начало координат k-раз и чем меньше окрестность, тем ближе.
Но это по рабоче-крестьянски.
ОЧЕНЬ хотелось бы где-нибудь почитать грамотное изложение этого метода и Очень желательно с обобщениями.

[ewert]

outmind в сообщении #1484572 писал(а):

Это первое доказательство, например, из этой книги:
Тихомиров В. М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50—70.

Но там ведь первое доказательство совсем другое. Там нет никаких петель, никаких сопряжений и никаких кратных корней -- ни о чём таком даже не упоминается. Там используется лишь интуитивно очевидный факт: если точка $z$ обходит окружность, на которой нет корней, то значение многочлена $P_n(z)$ обходит начало координат целое количество раз (говоря более формально -- аргумент числа $P_n(z)$ изменяется на величину, кратную $2\pi$). И ещё то, что количество оборотов непрерывно зависит от радиуса окружности.

Собственно, идея этого доказательства сводится к принципу аргумента, из которого выкинуто всё не нужное для данной теоремы (а ненужной оказывается практически вся ТФКП, поскольку речь всего лишь о многочленах).

[outmind]

ewert в сообщении #1484882 писал(а):

outmind в сообщении #1484572 писал(а):

Это первое доказательство, например, из этой книги:
Тихомиров В. М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50—70.

Но там ведь первое доказательство совсем другое. Там нет никаких петель, никаких сопряжений и никаких кратных корней -- ни о чём таком даже не упоминается. Там используется лишь интуитивно очевидный факт: если точка $z$ обходит окружность, на которой нет корней, то значение многочлена $P_n(z)$ обходит начало координат целое количество раз (говоря более формально -- аргумент числа $P_n(z)$ изменяется на величину, кратную $2\pi$). И ещё то, что количество оборотов непрерывно зависит от радиуса окружности.

Собственно, идея этого доказательства сводится к принципу аргумента, из которого выкинуто всё не нужное для данной теоремы (а ненужной оказывается практически вся ТФКП, поскольку речь всего лишь о многочленах).

Видимо мы друг друга непонимаем, т.к. если бы Вы сказали что это неважно это одно, но Вы говорите что там нет петель, пересечений итп.
Вы понимаете о каком отображении комплексной плоскости аргумента на комплексную плоскость значений я говорю?
И как выглядит образ отображения на плоскости значений?
Пример такого образа я вставил в виде картинки.
И как меняется этот образ при стягивании окружности в плоскости аргумента?
Я не говорю сейчас о принципе аргумента, о корректности доказательства, о ТФКП в общем.
Мне сейчас не так важно что в "нормальных книжках по ТФКП ничего такого"/экзотично/есть другие доказательства.
Мне было интересно понять 1) как геометрически (ну или топологически) ведут себя эти кривые на плоскости значений (с этим разобрался вроде бы); и 2) где используется еще такие отображения. У Понтрягина в методе координат упоминалось что этот метод отображения часто используется не только в этой теореме.


Если можете помочь по существу буду благодарен.

[outmind]

Нашел топологическое развитие этого подхода:
http://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjde/tg/html/pi1-06.html
Тут показывается связь с фундаментальной группой.

В одном вопросе на MO нашел ссылку на Benjamin Fine Gerhard Rosenberger "The Fundamental Theorem of Algebra"
в которой постепенно развивают идею через те же фунд. группы, числа Бетти до степени отображения Брауэра
и доходят до фундаментальной теоремы для конечнопорожденных абелевых групп.

Т.е., это, наверное, ответ на мой вопрос про развитие/использование этого (топологического) метода в ... не знаю даже т. групп/алг. топологии.
Не знаю это ли имел ввиду Понтрягин. Т.к. он вроде бы был тополог, может быть.

Был бы очень рад, если кто-нибудь еще подскажет про его применения в комплексном анализе,
т.к. изначально думал что речь про исследование свойств ф(н)кп с помощью геометрии таких отображений.