Частота столкновений и средняя квадратичная скорость молекул

[misha.physics]

Здравствуйте.
Есть задача: Температура идеального газа увеличилась в 4 раза, во сколько раз увеличилась частота столкновений частиц газа со стенками сосуда?
Есть решение: Частота столкновений частиц газа прямо пропорциональна скорости движения частиц и поскольку $v=\sqrt{3RT/M}$, то частота столкновений увеличиться в 2 раза.

Покрутив известные формулы, я прихожу к выводу, что имеется ввиду средняя квадратичная скорость движения частиц, именно для неё получается формула выше. Но вот интересно, почему частота столкновения не будет пропорциональна, скажем, просто средней скорости движения частиц, а не квадратичной? Ведь средняя квадратичная скорость вообще говоря отличается от просто средней скорости.

Я себе представляю 2 параллельные пластины, между ними движется частица и испытывает упругие столкновения. Понятно, если скорость частицы увеличить вдвое, то частота ударов об пластины увеличиться тоже вдвое. Но как прийти к тому, что частота столкновений частиц газа пропорциональна именно средней квадратичной скорости частиц?

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1484273 писал(а):

Но вот интересно, почему частота столкновения не будет пропорциональна, скажем, просто средней скорости движения частиц, а не квадратичной? Ведь средняя квадратичная скорость вообще говоря отличается от просто средней скорости.

Вообще-то все характерные скорости частиц идеального газа (наивероятнейшая, средняя, среднеквадратическая) имеют вид $\sqrt{\varkappa RT/M}$, где $\varkappa$ - какая-то константа (соответственно $2$, $8/\pi$, $3$), поэтому вопрос, какой конкретно из скоростей частота столкновений пропорциональна, начисто лишен смысла.

[misha.physics]

Спасибо! Действительно, я не подумал об этом.

[sergey zhukov]

misha.physics
Распределение скоростей по молекулам идеального газа - это распределение Максвелла. Из него легко получить следующее: допустим, мы записали на пленку движение молекул газа с температурой $T$. Если теперь ускорить воспроизведение видео в $a$ раз, то оно в точности будет соответствовать газу с температурой $a^2T$. Т.е. и без вычисления какой-либо средней величины можно сразу сказать, что частота столкновений молекул газа, имеющего распределение Максвелла, со стенками сосуда удваивается, когда его температура учетверяется.

[misha.physics]

sergey zhukov в сообщении #1484428 писал(а):

распределение Максвелла. Из него легко получить следующее: допустим, мы записали на пленку движение молекул газа с температурой $T$. Если теперь ускорить воспроизведение видео в $a$ раз, то оно в точности будет соответствовать газу с температурой $a^2T$.

Ну здесь все-равно нужно взять характерную скорость иначе как связать распределение по скоростям с ускорением воспроизведения видео?

[sergey zhukov]

misha.physics в сообщении #1484482 писал(а):

как связать распределение по скоростям с ускорением воспроизведения видео?

Вот как. Распределение Максвелла, если положить все константы единицами, имеет вид:

$$F(u)=\frac{1}{\sqrt{t}}\frac{u^2}{t}\exp(-\frac{u^2}{t})$$

Поставим вопрос: если распределение Максвелла сжать в $a$ раз по вертикали и одновременно растянуть в $a$ раз по горизонтали, то получим ли мы другое распределение Максвелла? Умножим левую часть на $a$ (сжатие распределения в $a$ раз по вертикали), а вместо $u$ подставим $u^\prime=\frac{u}{a}$ (растяжение распределения в $a$ раз по горизонтали):

$$aF(\frac{u}{a})=\frac{1}{\sqrt{t}}\frac{u^2}{a^2t}\exp(-\frac{u^2}{a^2t})\to\ F(\frac{u}{a})=\frac{1}{\sqrt{a^2t}}\frac{u^2}{a^2t}\exp(-\frac{u^2}{a^2t})\to\ F(\frac{u}{a})=\frac{1}{\sqrt{t^\prime}}\frac{u^2}{t^\prime}\exp(-\frac{u^2}{t^\prime})$$

Отсюда видно, что в результате получается распределение Максвелла с температурой $t^\prime=a^2t$. Т.к. растяжение распределения по горизонтали в $a$ раз - это просто увеличение скоростей всех молекул в $a$ раз, можно заключить, что ускорение видео движения молекул идеального газа в $a$ раз и увеличение температуры газа в $a^2$ раз - это одно и то же.

[Pphantom]

sergey zhukov, это все, конечно, правильно, но вы заколачиваете гвозди микроскопом.

Уравнение состояния идеального газа $p=n k T$, при постоянной концентрации $p \propto T$. Поскольку давление - это средний переданный за единицу времени единице площади стенки импульс, оно обязано быть пропорционально среднему импульсу одной частицы (т.е. средней скорости при одинаковых частицах) и средней частоте столкновений. Средняя скорость пропорциональна $\sqrt{T}$, стало быть, и частота столкновений пропорциональна $\sqrt{T}$. Все, больше тут делать нечего и незачем.

[sergey zhukov]

Pphantom
Да. Это более общее доказательство, т.к. достаточно знать лишь зависимость средней по распределению скорости от температуры. При этом форма распределения может зависеть от температуры как угодно (при сохранении среднего) и даже вообще не быть распределением Максвелла.
С другой стороны, если бы форма распределения не обладала свойством масштабируемости при разных температурах, то средняя и среднеквадратичная скорости не были бы всегда пропорциональны друг-другу и средняя скорость молекул не была бы пропорциональна $\sqrt{T}$.

[Pphantom]

sergey zhukov в сообщении #1484508 писал(а):

При этом форма распределения может зависеть от температуры как угодно (при сохранении среднего) и даже вообще не быть распределением Максвелла

В условии задачи речь идет об идеальном газе. Соответственно, не может.

Собственно говоря, получение распределения Максвелла для идеального газа - сравнительно сложная задача. Во всяком случае. существенно более сложная, чем получение уравнения состояния. А получать простые выводы с использованием сложных промежуточных результатов несколько нерационально.

[misha.physics]

Спасибо за разные способы. Мне очень интересно их смотреть даже если они в данных случаях нерациональны, ведь это все та же физика просто с разных сторон.

Pphantom, ваши объяснения с уравнением состояния газа понял. При этом независимо нужно знать, что средняя скорость пропорциональна корню из температуры.

sergey zhukov, пробовал разобраться со сжатием и растяжением распределения, на запутался, похожим приемом ещё не пользовался вроде. Я так понимаю, в конечном счёте мы перемасштабирование скоростей перевели в перемасштабирование температуры и сохранили тот же вид распределения. Но я не понял это математически. Выходит, что $F(u/a)$ здесь обозначает другое, чем я привык, т.е. это не просто замена аргумента $u$ в функции $F(u)$ на $u/a$, иначе в самом начале не было бы множителя $a$ перед $F(u/a)$. А если он там должен быть, то откуда следует первое равенство? И я не до конца понял, что вы понимаете под растяжением и сжатием. Мне подумалось, что если у нас есть функция $F(u)$, то мы можем изменить масштаб на осях $u$ и $F$ в $a$ раз и у нас форма кривой останется прежней, но тогда нужно говорить об сжатии и сжатии (растяжении и растяжении). Что-то я не понял.

[Eule_A]

misha.physics
Не забывайте, откуда берётся плотность распределения: из вероятности. Вот пишете Вы вероятность того, что модуль скорости молекулы из промежутка $[v,v+dv]$ - это будет $dw=F(v)dv$. Если Вы хотите перейти к другой переменной от модуля скорости $v$, то нужно и дифференциал $dv$ преобразовать. Отсюда появится дополнительный множитель. Формально при этом у Вас получится уже другая плотность распределения.

[misha.physics]

Спасибо, вспомнил. Возле дифференциала $du'$ будет множитель $a$ и мы его запихиваем в плотность вероятности. (Вспомнил как мы переходили от распределения по импульсам к распределению по энергиям )

Да, теперь понятно, почему сжатие и растяжение.

-- 25 сен 2020, 22:01 --

(Оффтоп)

Только что заметил, что фон постов меняется через один.

-- 25 сен 2020, 22:10 --

sergey zhukov,

sergey zhukov в сообщении #1484508 писал(а):

Да. Это более общее доказательство, т.к. достаточно знать лишь зависимость средней по распределению скорости от температуры.

Я правильно понял, что под более общим доказательством вы понимаете доказательство через уравнение состояния? А то я сначала подумал, что ваш способ через распределение более общий.

[sergey zhukov]

misha.physics в сообщении #1484657 писал(а):

Я правильно понял, что под более общим доказательством вы понимаете доказательство через уравнение состояния?

Да, конечно. Ведь оно остается верным для произвольного распределения. Но нужно откуда-то дополнительно знать, что $\frac{\left\langle u\right\rangle}{\left\langle u^2\right\rangle}$ не зависит от $T$. Возможно, это тоже следует из уравнения состояния или других, более простых соображений, чем конкретный вид распеределения.

[misha.physics]

Спасибо.

-- 26 сен 2020, 08:57 --

sergey zhukov в сообщении #1484723 писал(а):

Но нужно откуда-то дополнительно знать, что $\frac{\left\langle u\right\rangle}{\left\langle u^2\right\rangle}$ не зависит от $T$.

А зачем это знать? В доказательстве через уравнение состояния выше ведь используется только что средняя скорость пропорциональна корню из $T$.

[sergey zhukov]

misha.physics
Потому, что как вы и сказали в самом начале, из уравнения состояния следует только, что $\left\langle u^2\right\rangle \propto \sqrt{T}$. Частота же столкновений $\propto \left\langle u\right\rangle$. Если $\frac{\left\langle u\right\rangle}{\left\langle u^2\right\rangle}$ есть функция $T$, то $\left\langle u \right\rangle$ не будет пропорционально $\sqrt{T}$.