Ранг матрицы

[svv]

artempalkin в сообщении #1483412 писал(а):

Ну как естественное... оно зависит от способа задания скалярного произведения, которое можно задать как угодно.

Там нет скалярного произведения. Специально подчеркнул, предвидя вопрос:

svv в сообщении #1482495 писал(а):

где точка означает значение ковектора на векторе. Никаких скалярных произведений.

Спаривание.

[artempalkin]

svv в сообщении #1483417 писал(а):

Там нет скалярного произведения.

Слона-то я и не приметил... а я еще думаю: вроде бы очевидный же момент, как это он не учтен? :) Извиняюсь.

[oleg.k]

artempalkin в сообщении #1483373 писал(а):

Базисных строк и базисных столбцов одинаковое количество, разве нет?

Это не известно. Я пытаюсь построить изоморфизм между линейными оболочками, чтобы доказать, что их размерности равны. Если бы я знал, что базисных строк и столбцов одинаковое количество, то равенство размерностей вытекало бы из этого факта по определению, и изоморфизм строить было бы не за чем.

artempalkin в сообщении #1483407 писал(а):

"Докажи то, что прекрасно известно и легко доказывается другими методами, случайно не применив никакие из утверждений этих методов".

Стандартное доказательство не такое уж и тривиальное. Там надо предварительно несколько лемм доказать: размерности линейных оболочек систем строк и столбцов не меняются при элементарных преобразованиях матрицы, обе они равны количеству ненулевых строк в любой ступенчатой матрице, полученной из данной элементарными преобразованиями. А чтобы доказать последнее, надо доказать, что ненулевые строки ступенчатой матрицы линейно независимы и что столбцы этой матрицы, содержащие ведущие элементы, образуют базис системы столбцов. Короче говоря, все это дело не то чтобы в 1 строчку доказывается. Но это бы ладно, все эти леммы и впрямь несложные. Но мне как то не очень нравится это доказательство на идейном уровне. Если бы был какой то единообразный способ построить изоморфизм, то доказательство выглядело бы получше.

[artempalkin]

oleg.k в сообщении #1483435 писал(а):

Это не известно. Я пытаюсь построить изоморфизм между линейными оболочками, чтобы доказать, что их размерности равны. Если бы я знал, что базисных строк и столбцов одинаковое количество, то равенство размерностей вытекало бы из этого факта по определению, и изоморфизм строить было бы не за чем.

Ну... я же не знаю, где заканчивается то, чего вы "виртуально" не знаете. Например, может быть, вы знаете, что размерности пространств строк и столбцов равны, а основную теорему про изоморфизм ЛП не знаете. Тогда мой метод хорошо работает.

oleg.k в сообщении #1483435 писал(а):

Там надо предварительно несколько лемм доказать: размерности линейных оболочек систем строк и столбцов не меняются при элементарных преобразованиях матрицы, обе они равны количеству ненулевых строк в любой ступенчатой матрице, полученной из данной элементарными преобразованиями. А чтобы доказать последнее, надо доказать, что ненулевые строки ступенчатой матрицы линейно независимы и что столбцы этой матрицы, содержащие ведущие элементы, образуют базис системы столбцов. Короче говоря, все это дело не то чтобы в 1 строчку доказывается.

Ага, ну, можно и так, наверное. Можно это через операторы доказать. Тогда как бы поближе к вашему получится (т.к. явно находится тот и другой базисы). Но, опять же, тут получается "разминирование". На мой взгляд это будет естественный изоморфизм, скажем, а с вашей т.з. может оказаться, что и нет.

-- 16.09.2020, 18:27 --

Я бы начал рассуждения с ответа на вопрос, как вообще доказывается изоморфизм ЛП, когда нужно его доказать. Ответ такой: изоморфизм ЛП доказывается двумя способами: прямым построением либо по критерию (равенство размерностей). В нашем случае второй метод отпадает, значит, нужно делать прямым построением. Других способов доказательства изоморфизма не существует, либо я их не знаю.

Проблема в том, что критерий, как мы знаем, это переформулированное определение. Особенно в данном случае, как и в некоторых других, они настолько тесно между собой связаны, настолько переформулировка минимальна, что, на мой взгляд, невозможно доказать изоморфизм по определению, при этом полностью обойдя критерий.

Нам надо построить изоморфизм двух пространств, но это в любом случае будет означать, что базис отображается в базис, а это уже, по сути, наш критерий. Тяжелую задачу вы поставили. Мне кажется, если в ней и есть смысл, то только расширение знаний об определениях и критериях, то есть о каких-то основах математики :)

[oleg.k]

artempalkin в сообщении #1483449 писал(а):

Ответ такой: изоморфизм ЛП доказывается двумя способами: прямым построением либо по критерию (равенство размерностей).

Да, мне именно прямым построением и хотелось бы. Ладно бы если бы нужен был изоморфизм между какими-то слабо связанными пространствами. Но тут то матрица. У нее строки и столбцы больно уж хорошо связаны: зная строки, знаем и столбцы и наоборот. Системы строк и столбцов - порождающие (т.е. они всю нужную информацию должны содержать в себе). Вот я и подумал, что тут должен быть какой то естественный способ явно построить изоморфизм.

[artempalkin]

oleg.k в сообщении #1483469 писал(а):

должен быть какой то естественный способ явно построить изоморфизм.

Мои размышления про определение и критерий вам понятны? :)

[oleg.k]

artempalkin в сообщении #1483519 писал(а):

Мои размышления про определение и критерий вам понятны? :)

Ну мне известно, что критерием изоморфности двух ЛП является равенство их размерностей. А так я не очень понял Вашу мысль. Расшифруете?

[artempalkin]

oleg.k в сообщении #1483533 писал(а):

Расшифруете?

Там три параграфа выше написаны. Ну, значит, не смог донести мысль :)

[oleg.k]

оказалось, что даже стандартное доказательство из учебника я не понял. в общем, ниженаписанное скорее всего не совпадает с тем, что в учебнике, а может быть это то же самое, только другими словами, не знаю.

Надо доказать, что ранг системы столбцов матрицы

$$A_{m \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ...& &... \\ a_{m_{1}}& ... & a_{mn} \end{pmatrix}$$

не меняется при любом наборе элементарных преобразований (строк) этой матрицы.

Я рассуждаю так. Пусть $\upsilon_{1} = (a_{11}, ... , a_{m1}), ... , \upsilon_{n} = (a_{1n}, ... , a_{mn})$ - вектора пространства $K^m$. Положим $V = (\upsilon_{1}, ... , \upsilon_{n})$. Ранг системы столбцов суть $dim \left\langle V \right\rangle$. Возьмем любую линейную комбинацию $\lambda_1\upsilon_{1}+ ... + \lambda_n\upsilon_{n} = 0$ Тогда $\lambda_1, ... , \lambda_n$ является решением однородной СЛАУ, в которой $A$ является матрицей коэффициентов. С другой стороны, если некоторый набор $\lambda_1, ... , \lambda_n$ является решением однородной СЛАУ, в которой $A$ является матрицей коэффициентов, то $\lambda_1\upsilon_{1}+ ... + \lambda_n\upsilon_{n} = 0$. Таким образом, наборы $\lambda_1, ... , \lambda_n$, при которых $\lambda_1\upsilon_{1}+ ... + \lambda_n\upsilon_{n} = 0$ - это в точности решения однородной СЛАУ с матрицей коэффициентов $A$. Обозначим множество всех этих наборов буквой $M$. Так же положим $N = K^n \setminus M$ - множество наборов, при которых линейная комбинация ее столбцов не равна нулю.

Элементарные преобразования расширенной матрицы коэффициентов некоторой СЛАУ приводят к эквивалентной СЛАУ. Из этого следует, что любой набор элементарных преобразований матрицы коэффициентов однородной СЛАУ приводит к эквивалентной СЛАУ. Поэтому, если после некоторых элементарных преобразований матрицы $A$ получилась матрица $A'$, то множество наборов чисел $M'$, обращающих в ноль набор ее столбцов, совпадает с $M$, а множество $N'$ тех наборов чисел, при которых линейная комбинация ее столбцов не равна нулю, очевидно, совпадает с $N$.

На этом месте уже интуитивно понятно, что размерность линейной оболочки системы столбцов матрицы $A$ не должна меняться при элементарных преобразованиях этой матрицы. Но как это доказать строго?

[svv]

Элементарные преобразования столбцов можно переформулировать в терминах аналогичных преобразований системы векторов-столбцов. Покажите, что ранг произвольной системы (= упорядоченного набора) векторов не меняется при каждой из операций:
$\bullet$ перестановка двух векторов;
$\bullet$ умножение вектора на ненулевой коэффициент;
$\bullet$ прибавление к вектору другого вектора, умноженного на коэффициент.

Самая страшная — последняя. Докажите лемму:
Наборы векторов $(v_1,v_2,...,v_n)$ и $(v_1+v_2,v_2,...,v_n)$ одновременно линейно независимы либо линейно зависимы.
(тут $n$ произвольно и не имеет отношения к числу столбцов Вашей матрицы)

[oleg.k]

svv в сообщении #1484222 писал(а):

$\bullet$ перестановка двух векторов;

Пусть есть 2 системы векторов $V = (... \upsilon_{i}, ... , \upsilon_{j}, ...)$ и $V' = (... \upsilon_{j}, ... , \upsilon_{i}, ...)$. Векторы второй системы будем снабжать штрихами, нумерацию мест сохраняем (это означает, что $\upsilon_{i}' = \upsilon_{j}$). Тогда $(s \ne i, j)\upsilon_{s}' = 0\upsilon_{1} + ... + 1\upsilon_{s} + ... + 0\upsilon_{n}; \upsilon_{i}' = 0\upsilon_{1} + ... + 1\upsilon_{j} + ... + 0\upsilon_{n}$; $\upsilon_{j}' = 0\upsilon_{1} + ... + 1\upsilon_{i} + ... + 0\upsilon_{n}$
Получается, что каждый вектор второй системы линейно выражается через первую.

svv в сообщении #1484222 писал(а):

$\bullet$ умножение вектора на ненулевой коэффициент;

Пусть есть 2 системы векторов $V = (... ,\upsilon_{i}, ... )$ и $V' = (... ,c\upsilon_{i}, ... ), c \ne 0 $. Тогда $(s \ne i),\upsilon_{s}' = 0\upsilon_{1} + ... + 1\upsilon_{s} + ... + 0\upsilon_{n}; \upsilon_{i}' = 0\upsilon_{1} + ... + c\upsilon_{i} + ... + 0\upsilon_{n}$ Каждый вектор второй системы линейно выражается через первую.

svv в сообщении #1484222 писал(а):

$\bullet$ прибавление к вектору другого вектора, умноженного на коэффициент.

Пусть есть 2 системы векторов $V = (... \upsilon_{i}, ... , \upsilon_{j}, ...)$ и $V' = (... \upsilon_{i}, ... , c\upsilon_{i} + \upsilon_{j}, ...)$. Тогда $(s \ne j),\upsilon_{s}' = 0\upsilon_{1} + ... + 1\upsilon_{s} + ... + 0\upsilon_{n}; \upsilon_{j}' = 0\upsilon_{1} + ... + c\upsilon_{i} +...+ 1\upsilon_{j}+ ... + 0\upsilon_{n}$. Каждый вектор второй системы линейно выражается через первую.


Учитывая, что, применив обратное преобразование, можно каждый вектор первой системы выразить через вторую, получаем, что системы $V$ и $V'$ эквивалентны, значит они порождают одно и то же подпространство основного пространства $V(K)$, и поэтому их ранги равны.

Вроде и лемма не понадобилась. Вот только вопрос: чем мне эти факты помогут?

[svv]

oleg.k в сообщении #1484160 писал(а):

На этом месте уже интуитивно понятно, что размерность линейной оболочки системы столбцов матрицы $A$ не должна меняться при элементарных преобразованиях этой матрицы. Но как это доказать строго?

Может, я как-то неправильно понял, в чём Ваша проблема?

[oleg.k]

svv в сообщении #1484230 писал(а):

Может, я как-то неправильно понял, в чём Ваша проблема?

Под "элементарными преобразованиями" матрицы я понимаю элементарные преобразования строк матрицы. Мне совсем не очевидно, что они не меняют размерность линейной оболочки системы столбцов матрицы.

[svv]

Да, прошу прощения, невнимательно прочитал.

[artempalkin]

svv в сообщении #1484232 писал(а):

Мне совсем не очевидно, что они не меняют размерность линейной оболочки системы столбцов матрицы.

Один из вариантов: доказать, что дефект плюс ранг есть размерность. Далее, вы доказываете, что, к примеру, элементарные преобразования столбцов не меняют ядра (и дефекта), а значит, ранг тоже остается неизменным.

Скажите, а в целом доказательством про сумму дефекта и ранга вы владеете?