определитель тёплицевой матрицы

[novichok2018]

Матрицы Тёплица кажется тесно связаны с ДПФ. Обычно задачи с ними можно решить через представления с ДПФ. Здесь так не получится?

[lel0lel]

Нашёл! Нашёл доказательство, что $\{D_k\}$ это линейная рекурсия 5-го порядка, рекуррентную формулу также довольно просто получить. К тому же метод обобщается на большой класс матриц и можно совершенно законно использовать линейную систему для нахождения рекуррентных коэффициентов в подобных задачах; также можно честно получать рекуррентную формулу, это лишь немного сложнее. Доказательство столь элегантное и элементарное, что оно полностью укладывается в программу 1-го курса какого-нибудь экономического факультета, достаточно только знать что такое детерминант. Спасибо большое за задачу!

[maxal]

lel0lel, звучит интригующе. Покажите ваше решение и мы сравним с моим.

[lel0lel]

Никаких секретов.
Разве бы я догадался до чего-то подобного, если бы вы не выложили эту задачу.

Если кратко, то будем применять метод конденсации Доджсона до тех пор, пока матрица не примет $m$-диагональный вид. В вашей задаче это происходит весьма скоро и матрица становится пентадиагональной. Далее применяем классическую науку для таких матриц (смотреть pentadiagonal matrices). Можно честно получать рекуррентные формулы, но если лень, то можно использовать обсуждавшийся выше метод нахождения рекуррентных коэффициентов, теперь это обоснованный шаг.

(Оффтоп)

Возможно, что я немного погорячился про программу 1-го курса экономического факультета

[maxal]

lel0lel в сообщении #1483567 писал(а):

Если кратко, то будем применять метод конденсации Доджсона до тех пор, пока матрица не примет $m$-диагональный вид. В вашей задаче это происходит весьма скоро и матрица становится пентадиагональной. Далее применяем классическую науку для таких матриц (смотреть pentadiagonal matrices
).

Интересный подход. Кстати, о методе конденсации у нас была тема: topic64635.html

А вот моё решение. Я там выводил формулу через производящие функции, но сейчас подумалось, что можно было сразу скомпоновать все рекуррентности в матричное соотношение:

$$ \begin{bmatrix} A_{n+1}\\ B_{n+1}\\ (-1)^{n+1}C_{n+1}\\ D_{n+1} \\ D_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x-2 & x & 1 & 0 & 0\\ -x & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & x & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2x-2 & -x^2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A_{n}\\ B_{n}\\ (-1)^{n}C_{n}\\ D_{n} \\ D_{n-1}\end{bmatrix}. $$

Отсюда рекуррентное соотношение для $A_n$ легко получается из минимального многочлена указанной матрицы, т.е.

$$A_n = (5x - 4)A_{n-1} + (-10x^2 + 12x - 4)A_{n-2} + (10x^3 - 12x^2 + 4x)A_{n-3} + (-5x^4 + 4x^3)A_{n-4} + x^5A_{n-5},$$

а далее и до производящей функции и формулы общего члена рукой подать.