Несобственный интеграл

[Stensen]

Доброго времени суток. Уважаемые, помогите исследовать на сходимость интеграл:

$I=\int\limits_{4}^{\infty}\frac{(x^2+1)dx}{3^x+\ln x - 1}$

т.к. $\frac{(x^2+1)dx}{3^x+\ln x - 1}=\frac{x^2}{3^x}\cdot\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{\ln x}{3^x}-\frac{1}{3^x}} \sim \frac{x^2}{3^x}$ при $x\to \infty$ , и т.к.

$\exists x_0 >1 : \forall x> x_0, \forall k \in\mathbb{N} : x^k < 3^x$ ,

то для $k>2 $ : $\frac{x^2}{3^x} \leqslant \frac{x^2}{x^k} = \frac{1}{x^{k-2}}= \frac{1}{x^\alpha}, \alpha >1$.

$\int\limits_{4}^{\infty} \frac{dx}{x^\alpha} $ сходитcя для $\forall \alpha > 1$, поэтому сходится $I \leqslant \int\limits_{4}^{\infty} \frac{dx}{x^\alpha} $

Все ли верно?

[Brukvalub]

Все верно, но лучше указать конкретное k.

[Someone]

Stensen в сообщении #1482746 писал(а):

$\exists x_0 >1 : \forall x> x_0, \forall k \in\mathbb{N} : x^k < 3^x$

Неправильная последовательность кванторов.

[Stensen]

Someone в сообщении #1482749 писал(а):

Stensen в сообщении #1482746 писал(а):

$\exists x_0 >1 : \forall x> x_0, \forall k \in\mathbb{N} : x^k < 3^x$

Неправильная последовательность кванторов.

Подправил: $\forall k \in\mathbb{N}, \exists x_0 >1 , \forall x> x_0 : x^k < 3^x$

[TOTAL]

Stensen в сообщении #1482750 писал(а):

Подправил: $\forall k \in\mathbb{N}, \exists x_0 >1 , \forall x> x_0 : x^k < 3^x$

Зачем $ x_0 >1 $?

[Stensen]

TOTAL в сообщении #1482751 писал(а):

Зачем $ x_0 >1 $?

Можно $ x_0 >0 $, просто не стал анализировать для $ 0< x_0 <1 $, поленился, тем более, что нижний предел интегрирования $ x=4 $