Эквивалентность определний предела функции

[VoprosT]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться:
1. Коши(в терминах окрестностей):

$\forall V_{\mathbb{R}}(A) \; \exists U_{E}(a) \colon x \in U_{E}(a) \Rightarrow f(x) \in V_{\mathbb{R}}(A)$

2. Окрестностное определение:

$\forall V_{\mathbb{R}}(A) \; \exists U_{E}(a) \colon f(x) \in f(U_{E}(a)) \Rightarrow f(x) \in V_{\mathbb{R}}(A)$

(вообще, там через отношение включения, но я просто расписал его по определению как импликацию).

Замечание: $U_{E}(a)$ понимается как проколотая, просто не нашёл точки над заглавной буквой.

Эти определения эквивалентны и отличаются только посылкой в импликации, стало быть, посылки равносильны? Но они равносильны ведь только когда отображение $f$ инъективно. В чём подвох?

[mihaild]

Посылки не равносильны, но сами импликации - равносильны. Из посылки первой посылка второй просто следует, так что из непрерывности по второму определению следует непрерывность по первому.
В обратную сторону (из непрерывности по первому следует непрерывность по второму) ИМХО проще доказывать от противного.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1481897 писал(а):

Посылки не равносильны, но сами импликации - равносильны. Из посылки первой посылка второй просто следует, так что из непрерывности по второму определению следует непрерывность по первому.

Здесь, наверное, наоборот? Из первого - второе? И в последнем абзаце тоже надо инвертировать

mihaild в сообщении #1481897 писал(а):

В обратную сторону (из непрерывности по первому следует непрерывность по второму) ИМХО проще доказывать от противного.

Да, я доказывал тоже от противного. Мне просто было интересно то, что импликации эквиваленты, а посылки нет.

[kotenok gav]

mihaild в сообщении #1481897 писал(а):

Здесь, наверное, наоборот? Из первого - второе? И в последнем абзаце тоже надо инвертировать

Нет.

[VoprosT]

kotenok gav в сообщении #1481903 писал(а):

mihaild в сообщении #1481897 писал(а):

Здесь, наверное, наоборот? Из первого - второе? И в последнем абзаце тоже надо инвертировать

Нет.

Можете, пожалуйста, объяснить этот момент?

[kotenok gav]

$x \in U_{E}(a) \Rightarrow f(x) \in f(U_{E}(a)) \Rightarrow f(x) \in V_{\mathbb{R}}(A)$

[VoprosT]

kotenok gav в сообщении #1481925 писал(а):

$x \in U_{E}(a) \Rightarrow f(x) \in f(U_{E}(a)) \Rightarrow f(x) \in V_{\mathbb{R}}(A)$

Ну так ведь это из первого определения второе, а не из второго первого

-- 03.09.2020, 21:27 --

mihaild в сообщении #1481897 писал(а):

Посылки не равносильны, но сами импликации - равносильны.

Не могу до конца прочувствовать этот момент. Пытаюсь найти какой-то «жизненный, интуитивно понятный» пример

[kotenok gav]

VoprosT в сообщении #1481926 писал(а):

Ну так ведь это из первого определения второе, а не из второго первого

Нет.

[VoprosT]

kotenok gav в сообщении #1481931 писал(а):

VoprosT в сообщении #1481926 писал(а):

Ну так ведь это из первого определения второе, а не из второго первого

Нет.

Не понимаю, как это работает, просветите, пожалуйста

[kotenok gav]

Первая импликация в двойной импликации очевидна. Вторая импликация следует из второго. Из общей импликации следует первое.

[VoprosT]

kotenok gav в сообщении #1481939 писал(а):

Первая импликация в двойной импликации очевидна. Вторая импликация следует из второго. Из общей импликации следует первое.

Так если у нас изначально вторая импликация(по совместительству второе определение), как из неё следует общая импликация(первое определение)?

[mihaild]

Из посылки первой следует посылка второй. Вторая у нас есть, так что из посылки первой следует заключение второй.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1481944 писал(а):

Из посылки первой следует посылка второй. Вторая у нас есть, так что из посылки первой следует заключение второй.

А. Вот это я туплю, конечно. Спасибо.

[mihaild]

В посылке первого написано, что $x$ из маленькой окрестности. В посылке второго - что $x$ такой, что значение в нём такое же, как и в какой-то точке из маленькой окрестности. Второму удовлетворяет больше точек, но, поскольку мы в итоге будем смотреть только на значение в $x$, а не на сам $x$, то это неважно: $f(f^{-1}(f(U))) = f(U)$.