Примеры сходимости и расходимости степенных рядов на границе

[Red_Herring]

Пусть степенной ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n z^n$ имеет радиус сходимости $1$. Рассмотрим границу $C=\{z\colon |z|=1\}$ (и только ее).

1. Каким может быть подмножество точек $C$, на котором ряд сходится?

1. Где написано доказательство, что $\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}$ сходится при всех $z\ne 1$?

2. Где написано доказательство, что $\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n}$ сходится при всех $z, \arg(z)/\pi$ иррационально, и только для них (и вообще, верно ли это)?

3. Другие интересые примеры.

Спасибо

[alisa-lebovski]

2. Делается через синусы и косинусы и признак Дирихле сходимости рядов.
3. Если рационально, то точно расходится (через косинус).

[mihaild]

Есть ответ на mathoverflow с небольшим обзором и ссылками. Любое счетное объединение замкнутых множеств может быть множеством точек сходимости на границе, и множество точек сходимости на границе обязано быть счетным пересечением счетных объединений замкнутых множеств.

[novichok2018]

1. который как бы 2. Да не надо доказательства, сумма в явном виде считается. Или этого не хватает?

[Otta]

novichok2018 в сообщении #1478615 писал(а):

1. который как бы 2. Да не надо доказательства, сумма в явном виде считается. Или этого не хватает?

Дифференцировать будем? На границе круга сходимости?

[novichok2018]

Дифференцировать можно внутри, а в неособой точке границы сумма определена и непрерывна. Хотя Вы правы, такой вариант теоремы Абеля надо ещё найти.

[vpb]

Red_Herring в сообщении #1478594 писал(а):

(и вообще, верно ли это)?

При $\arg z=2\pi e$ расходится.

[nnosipov]

Кажется, вычисление предела $\lim_{n \to \infty}\cos{(2\pi en!)}$ --- одно из упражнений в задачнике Демидовича.

[novichok2018]

1. который 2. Доказательство написано здесь: Маркушевич. Теория аналитических функций. Т.1. С. 352.
Основным инструментом действительно является вариант теоремы Абеля для отрезка из начала в неособую точку границы.

[Red_Herring]

Спасибо. Еще Маркушевиче (немного дальше) есть Теорема Фату.

[Red_Herring]

Еще один вопрос: кто доказал теорему, что для любой комплексной области есть аналитическая функция, которая не продолжается через границу? Меня интересует имя.

Спасибо

[novichok2018]

Аналитическая включая границу, или строго внутри?

[pogulyat_vyshel]

novichok2018 в сообщении #1479282 писал(а):

Аналитическая включая границу,

это как?

[Утундрий]

(Оффтоп)

Ряд не сходится,
Иль расходится...
Это, в общем-то,
Всё равно...