Полтрубки

[dovlato]

Тонкостенная трубка разрезана пополам плоскостью, проходящей через её ось.
Половина трубки, положенная своей выпуклой стороной на горизонтальную плоскость, может слегка покачиваться по ней без проскальзывания. Собственная частота малых колебаний покачиваний равна $\omega_0$.
Потом трубку ставят один из краёв, образовавшихся после распила, и из неподвижного положения отпускают; под действием сил тяжести она прокатывается по плоскости, снова без проскальзывания. Найти максимальную достигаемую при этом угловую скорость трубки.

[Утундрий]

dovlato в сообщении #1478289 писал(а):

трубку ставят <на?> один из краёв, образовавшихся после распила, и из неподвижного положения отпускают

Как-то сильно не единственно.

[dovlato]

Распил - по образующей цилиндра. Ставится всей своей длиной. Единственным делает требование достижения максимума. Жаль, я не умею тут рисовать.

[EUgeneUS]

План решения.
1. Пусть $h=aR$ - расстояние от центра трубы до центра масс полутрубки. (Он несложно находится).
2. Тогда
$mg(\sqrt{R^2+h^2} - (R-h)) = \frac{mv^2}{2} + \frac{J\omega^2}{2}$
3. Момент инерции относительно центра трубки: $J = mR^2$, линейная скорость центра трубки $v = \omega R$
4. Тогда
$\omega = \sqrt{(\sqrt{1+a^2} - 1+a)\frac{g}{R}}$
5. $\frac{g}{R}$ находится из задачи о маятнике.

UPD: исправил ошибку в п.2.

[dovlato]

Кстати, нахождение ЦМ тяжёлой полуокружности (естественно без интегралов) было моей первой задачей в "Кванте". Там она, конечно, уже решалась, но другим способом.
В правой части п.2 , согласно Штейнеру, в качестве $v$ надо брать скорость ЦМ(!); в качестве момента инерции - $I_0$ - относительно опять же ЦМ. И кроме того, здесь $\omega_0^2\ne g/R$.

[EUgeneUS]

dovlato в сообщении #1478300 писал(а):

Кстати, нахождение ЦМ тяжёлой полуокружности (естественно без интегралов) было моей первой задачей в "Кванте".

Да, я видел подобное решение, уже после моего поста, там красиво.

dovlato в сообщении #1478300 писал(а):

И кроме того, здесь $\omega_0^2\ne g/R$.

Это понятно, задачу на малые колебания нужно решать отдельно.

dovlato в сообщении #1478300 писал(а):

в качестве $v$ надо брать скорость ЦМ(!); в качестве момента инерции - $I_0$ - относительно опять же ЦМ.

Да, там лажа. Перерешаю позже.

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1478300 писал(а):

В правой части п.2 , согласно Штейнеру, в качестве $v$ надо брать скорость ЦМ(!); в качестве момента инерции - $I_0$ - относительно опять же ЦМ.

(ерунду написал - стер)
Задачка полезная. Воспользуюсь. Спасибо.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1478301 писал(а):

Перерешаю позже.

Рассмотрим движение полутрубы, как вращение вокруг мгновенной оси вращения.
Тогда:
1. Момент инерции относительно центра трубы - $J_o = mr^2$
2. Момент инерции относительно ц.м - $J_{cm} = mr^2 - mh^2$
3. Момент инерции относительно мгновенной оси вращения (в минимуме потенциальной энергии): $J_1 = mr^2 - mh^2 + m(R-h)^2 = 2 mR^2 (1-a)$

И максимальная угловая скорость:
$\omega = \sqrt{\frac{g}{r} (\frac{\sqrt{1+a^2}}{1-a}-1)}$

[pogulyat_vyshel]

dovlato в сообщении #1478289 писал(а):

Потом трубку ставят один из краёв, образовавшихся после распила, и из неподвижного положения отпускают; под действием сил тяжести она прокатывается по плоскости

найти минимальный коэффициент трения при котором движение происходит без проскальзывания

[dovlato]

Кстати, это уже отдельная задача: при каком значении угла минимум коэффициента трения максимален.