Ошибка Больцмана

[Ignatovich]

$\Omega=\frac{A\rho}{m\rho^2+MR^2}$

[realeugene]

В пределе $\rho=0$ всё останавливается? То есть кинетическая энергия перерабатывается в работу против радиальной силы? То есть, катящееся мелкое колесо давит на ось в сторону центра? Позвольте не поверить.

[amon]

Ignatovich в сообщении #1475533 писал(а):

$\Omega=\frac{A\rho}{m\rho^2+MR^2}$

Терзают большие сомнения. При $\rho=0$ $\Omega$ вроде как может быть любой, а у Вас она - строгий 0.
Опоздал, но вопрос тот же.

-- 23.07.2020, 21:31 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1475487 писал(а):

Думаю, что Больцман примерно так сперва и рассуждал. Так нельзя делать.

Я про правильный-неправильный ответ не для полемики спросил. Вроде Вы согласились с этим ответом. Тогда, если не возражаете, можно пообсуждать где ошибка в "Лагранжевом" подходе.

[realeugene]

Ещё конечно было бы интересно узнать, в чём же именно состояла ошибка Больцмана и какой он изначально дал ответ?

[Ignatovich]

Я ошибся: изначально ответ был приведен правильный. Он следует из уравнений:
$\frac{mr^2}{2}\frac{d\omega}{dt}=Fr$
$\frac{MR^2}{2}\frac{d\Omega}{dt}=-F\rho$
$\omega r=\Omega\rho$

Поскольку сила трения между дисками не имеет радиальной горизонтальной составляющей, то перемещение колеса не сопровождается работой внешней силы, поскольку предполагается отсутствие проскальзывания дисков при их вращении (сомнительное предположение), то сила трения между дисками работу не совершает. Поэтому кинетическая энергия системы сохраняется, и на этом основании ответ может быть получен без интегрирования.

realeugene в сообщении #1475548 писал(а):

Ещё конечно было бы интересно узнать, в чём же именно состояла ошибка Больцмана и какой он изначально дал ответ?

[amon]

pogulyat_vyshel,
что бы проще "долбать" было, вот "длинный" вариант моей рассудюшки. Напишем уравнения для свободной (без внешних сил) системы. Для этого используем приведенную выше функцию Лагранжа. Получим:
\begin{align*} &\frac{d}{dt}\left(I_1\Omega+\frac{I_2\Omega\rho^2}{r^2}\right)=0\\ &m\ddot{\rho}-\frac{I_2\Omega^2\rho}{r}=0 \end{align*}
Теперь для того, что бы $\rho$ было заданной функцией времени, к системе надо приложить внешнюю силу к мелкому диску. Все, что мы можем - приложить силу $Q_\rho$ вдоль $\rho,$ поскольку диск бегает по стержню. Тогда система перепишется как
\begin{align*} &\frac{d}{dt}\left(I_1\Omega+\frac{I_2\Omega\rho^2}{r^2}\right)=0\\ &m\ddot{\rho}-\frac{I_2\Omega^2\rho}{r}=Q_\rho \end{align*}
(Если мне склероз не изменяет, это называется уравнениями Лагранжа второго рода.) Первое из них и дает ответ. Все это я сократил до "$\Omega$ - циклическая координата". Где тут вранье?

[dovlato]

У меня вопрос дилетанта. Допустим, малое колесо может скользить по своей оси
без трения, и нет никаких толкающих механизмов. Теперь, толкнём малое колесо
вдоль горизонтальной оси, например, к центру.. И что, оно будет скользить
по своей горизонтальной оси по инерции с постоянной скоростью?

[rascas]

dovlato в сообщении #1475569 писал(а):

И что, оно будет скользить по своей горизонтальной оси по инерции с постоянной скоростью?

Разумеется да.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1475536 писал(а):

Тогда, если не возражаете, можно пообсуждать где ошибка в "Лагранжевом" подходе.

там нет циклической координаты, о которой Вы говорите
и вот эта формула странная:

amon в сообщении #1475427 писал(а):

до добавить нечто, зависящее только от $\rho$ и не затрагивающее угловые координаты, значит

$$\frac{d}{dt}\left(I_1\Omega+\frac{I_2\Omega\rho^2}{r^2}\right)=0$$

Получился какой-то первый интеграл, которого не должно быть.

А с лагранжевым подходом все нормально:

$$T=\frac{1}{2}J\dot\psi^2+\frac{1}{2}I\dot\varphi^2+\frac{m}{2}\dot\rho^2,\quad r\dot\psi=\rho \dot\varphi.}$$

Последнее слагаемое в кинетической энергии это явная функция времени, поэтому оно из лагранжиана выбрасывается:

$$L=\frac{1}{2}J\dot\psi^2+\frac{1}{2}I\dot\varphi^2.$$

Поскольку активных сил нет, множество действительных перемещений принадлежит множеству виртуальных перемещений и лагранжиан не зависит от времени имеется интеграл "энергии":

$$\frac{1}{2}J\dot\psi^2+\frac{1}{2}I\dot\varphi^2=const,$$

который можно получить непосредственно комбинируя уравнения моментов с уравнением связи.
Выделенное курсивом условие в части действительных перемещений не обязано выполняться всегда см. напр. https://dxdy.ru/topic141630.html

Больцман, как я понимаю, написал сперва уравнения Лагранжа без учета неголономности.

-- 24.07.2020, 11:45 --

amon в сообщении #1475566 писал(а):

теме надо приложить внешнюю силу к мелк

вот между прочим, что в законе сохранения энергии, что в лагранжевом формализме (который по сути энергетический) внешние\внутренние силы это совершенно не по делу, силы там делят на активные и реакции связей

[dovlato]

У меня тоже получилось постоянство кинетической (вращательной) энергии.
Из чего следует, что "перекачки" энергии от толкающего механизма в энергию
вращения вообще не происходит. Ну и

$$\Omega^2=\frac{\Omega_0^2}{1+\frac{I_2}{I_1}\frac{\rho^2}{r^2}}$$

[Ignatovich]

Отсутствие проскальзывания при качении и отсутствие силы трения скольжения при радиальном движении - условия весьма искусственные. Если отказаться от этих ограничений, то связь между значениями угловой скорости в начальном и конечном установившихся режимах, как мне кажется, можно найти, если предположить очень быстрое радиальное перемещение малого колеса ("скачком" из начального положения в конечное). При медленном радиальном перемещении возможно (есть сомнения) будет справедливо решение Больцмана.

[pogulyat_vyshel]

realeugene в сообщении #1475415 писал(а):

Приведите, пожалуйста, пример несохранения полной энергии системы при отсутствии работы внешних сил.

система состоит из двух одинаковых пластилиновых шариков, которые летят навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями -- энергия системы не ноль. Шарики столкнулись и слиплись -- энергия ноль.

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1476688 писал(а):

Шарики столкнулись и слиплись -- энергия ноль.

У меня во фразе, которую вы процитировали, написано не "полная механическая энергия", а просто "полная энергия".

[pogulyat_vyshel]

realeugene в сообщении #1476716 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1476688 писал(а):

Шарики столкнулись и слиплись -- энергия ноль.

У меня во фразе, которую вы процитировали, написано не "полная механическая энергия", а просто "полная энергия".

Вы как-то слишком часто меняете показания:

realeugene в сообщении #1475432 писал(а):

На самом деле, в контексте этой задачи, полная энергия равна кинетической.

realeugene в сообщении #1475407 писал(а):

Работа внешних сил равна нулю - кинетическая энергия сохраняется.

И еще ловчить пытаетесь:

realeugene в сообщении #1475432 писал(а):

Да, разумеется, но чисто формально эта подмена произошла в посте ТС, на который я отвечал.

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1476726 писал(а):

Вы как-то слишком часто меняете показания:

Это вы постоянно жульничаете. Вы первый ушли от контекста задачи, решивши придраться к моим словам, написанным изначально в контексте задачи. Но почему-то ограничиваетесь только механикой. Фу вам за такое поведение!